青岛版七年级上册第3章 有理数的运算综合与测试单元测试练习题

青岛版初中数学七年级上册第三单元《有理数的运算》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 现有，，，四个正整数，将它们随机抽取两个并相加，所得的和都是，，，中的一个，并且，，，这个数都能取到，那么，，，这四个正整数(    )

A. 各不相等 B. 有且只有两个数相等
C. 有且只有三个数相等 D. 全部相等

2. 如图，现有的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知且则的值是

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 若，则必有(    )

A. ， B. ， C.  D.

6. 下列说法中：一定是负数；一定是正数；倒数等于它本身的数是；绝对值等于它本身的数是其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 已知，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法：若为有理数，且，则；若，则；若，则、互为相反数；若，则；若，且，则，
   其中正确说法的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 下列说法中：最大的负整数是数轴上表示数和的点到原点的距离相等当时，成立一定比大和相等其中正确的是．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 对于有理数，，定义一种新运算，规定，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如果是正整数，那么的值                                                   (    )

A. 一定是零 B. 一定是偶数
C. 是整数但不一定是偶数 D. 不一定是整数

12. 如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为米，高为米，装有同样大的塑钢玻璃，当第块向右拉到与第块重叠，再把第块向右拉到与第块重叠时，这时窗子的通风面积是．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 庄河十二月份某天上午时气温为，过小时后气温上升了，又过了小时气温又下降，则此时的气温是______
14. 一只昆虫从点处出发，以每分钟米的速度在一条直线上运动，它先前进米，再后退米，又前进米，再后退米，依此规律继续走下去，则运动小时时这只昆虫与点相距______米．
15. 已知，，且，则的值等于______ ．
16. 甲乙两人到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走千米，已知每人最多可携带一个人天的食物和水，若不准将部分食物存放于途中，则其中一个人最远可以深入沙漠____________千米要求最后两人都要返回出发点

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 判断一个正整数能被整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被整除，则这个正整数就能被整除．请证明对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的．
18. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，甲在点，乙在点，甲的速度是每秒个单位长度，乙的速度是每秒个单位长度．
    在数轴上的中点表示的数是______；
    若甲、乙两人同时同向向右而行，几秒后甲追上乙？
    若甲从点出发前往点，乙从点出发前往点，同时相向而行，则甲、乙两人运动的时间为多少时，两人相距个单位长度．
     

19. 某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加千米，气温下降大约，若该地区地面温度为，该地区高空某点温度为，则此点的高度大约是多少千米？
20. 已知，是实数，且，求的值．
21. 如图，半径为个单位长度的圆形纸片上有一点与数轴上的原点重合．提示：圆的周长，取值为
    把圆形纸片沿数轴向左滚动周，点到达数轴上点的位置，则点表示的数是______；
    圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：，，，，，当圆形纸片结束运动时，点运动的路程共是多少？此时点所表示的数是多少？

22. 已知数轴上的点，对应的有理数分别为，，且，点是数轴上的一个动点．

求出，两点之间的距离．

若点到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数．

数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足当点满足时，求点对应的数．

23. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”．
    定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”．
    例如：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除；
    不是“好数”，因为，不能被整除．
    判断，是否是“好数”？并说明理由；
    求出百位数字比十位数字大的所有“好数”的个数，并说明理由．
24. 某公园划船项目收费标准如下：

某班名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为小时，则租船的总费用最低为          元

25. 如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点．
    若线段，，且，求，的值．
    在的条件下，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】、
本题主要考查了有理数的加法，属于以代数为背景的推理与论证．
设，得到，，分别求得，，，的值，即可判断求解．
【解答】
解：正整数，，，具有同等不确定性，
设，
，，
当时，得，
，为或不合题意，舍去，
；
当时，得，
，，符合题意，
当时，得，
，，符合题意了．
综上所述，，，，这四个正整数只能是，，，和，，，
故选  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．
设下面中间的数为，分别表示出相应的数，再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．
【解答】
解：设下面中间的数为，则三个数字之和为，
，
，
，
，
如图所示：

，
解得．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：由图可知．
故选：．
三个顶角分别是，，，与之间是，和之间是，和之间是，这样每边的和才能相等．
考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是这个数最大的三个数字．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查绝对值，有理数的乘法，熟悉有理数的运算法则是解题的关键绝对值的定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是有理数的加法符号法则：同号的两个数相加，取原来的符号；异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号．规律总结：互为相反数的绝对值相等
【解答】
解：，，
，．
又，
，；或，．
则．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据绝对值的定义解答即可．
本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法，熟记绝对值的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了倒数、相反数和绝对值，解题时应熟练掌握倒数、相反数和绝对值的定义是本题的关键，此题难度不大，易于掌握．
根据倒数、相反数以及绝对值的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】

解：不一定是负数，故本选项错误；
是非负数，故本选项错误；
倒数等于它本身的数是，正确；
绝对值等于它本身的数是非负数，故本选项错误；
其中正确的个数有个．
故选A．

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故选B．
根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，倒数，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则及各自的性质是解本题的关键．各式利用相反数，绝对值，倒数的定义，乘方的意义，以及加法法则判断即可．
【解答】
解：若为有理数，且，则不一定小于，不符合题意；
若，则或，不符合题意；
若，则、互为相反数，符合题意；
若，则，不符合题意；
若，且，则，符合题意，
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了有理数的乘方，有理数，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键根据实数的分类以及绝对值的性质、乘方的性质即可作出判断．
【解答】
解：最大的负整数是，故正确；
 数轴上表示数和的点到原点的距离都是，故正确；
非正数的绝对值等于它的相反数，故正确；

，故正确；
，，故正确．
故选．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】
解：根据题中的新定义得：原式，
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．我们可以对的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．
【解答】

解：当为奇数时，，，
设不妨取自然数，
则，
与必有一个是偶数，
是的倍数．
所以的倍数，
即此时的值是偶数；
当为偶数时，，，
所以，
此时的值是，也是偶数．
综上所述，如果是正整数，的值是偶数．
故选B．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的混合运算以及有理数运算的应用．解题关键是根据图示找到窗子通风的部位在哪里．第块向右拉到与第块重叠，再把第块向右拉到与第块重叠时，第一块和第二块玻璃之间的距离是，窗子的通风面积为中剩下的部分，据此列式计算即可．
【解答】
解：由题意，这时窗子的通风面积是：
故选D．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意可列：
故答案为：．
根据题意列式为，易得为．
本题考查了有理数的加减混合运算，关键在于根据题意列式，注意计算要细致．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
由于这只昆虫的速度为米分钟，所以“前进米，再后退米”共用了分钟，此时实际上向后只退了一米；“前进米，再后退米”共用了分钟，此时实际上也只向后退了一米．由此不难看出，后一次运动比前一次多用分钟，每次实际上都是向后退一米．然后根据规律列式计算即可．认真审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．

【解答】
解：小时分，
规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期，
则设昆虫的运动周期数为，每一周期所用总时间为．
设每周期前进的距离为，则；
由题意可得：；
假设昆虫运动所用总时间为；
则
；
当分时，代入上式中可得但还剩余分钟，
由公式可得第周需要分钟，
但是每一周期中后退时间比前进时间多分钟，
所以在第周期中前进时间为分钟，后退时间为分钟．
由于运动一个周期后退一米，所以运动个周期就后退米，
由于在分钟内运动完周期后正好剩余分钟，
这样在第周期就正好前进的距离米，
故运动小时时这只昆虫与点相距为米．
故填．  

15.【答案】或 

【解析】解：，，
，，
，
，，
或．
故答案为：或．
由，，得出，，再由，得出，，进一步代入求得答案即可．
此题考查有理数的混合运算，非负数的性质，利用非负数的性质得出、的数值是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查有理数的混合运算、生活中方法的最佳选择，首先要想到去因为要求最远，所以两人同去耗食物，即应只一人去，另一人中途返回，两人一起出发，天后两人都只剩天的食物．甲分给乙天的食物后独自带着天的食物返回，乙独自前进天后返回，多远都得返回，所以每前进一步，都要想着返回的食物，进而找到最佳答案．
【解答】
解：因为要求最远，所以两人同去耗食物，即应只一人去，另一人中途返回，
两人一起出发，天后两人都只剩天的食物，甲分给乙天的食物后独自带天的食物返回．
则乙有的食物：天，
乙再走：天，
最远可以深入沙漠：千米；
故答案为．  

17.【答案】解：设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为为整数，且，，，
则这个三位正整数可设为．
由题意可知，，的和能被整除，
所以可设，其中为正整数．
所以．
因为，，均为正整数，所以为正整数，
所以能够被整除．
即对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的． 

【解析】此题考查了列代数式和整式的加减，关键是会用代数式正确表示一个三位数．  设设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为为整数，且，，，表示出这个三位数，根据题意设，其中为正整数．将用代数式表示的这个三位数变形为，易得结论．
 

18.【答案】解：

设秒时，甲追上乙，由题意得，
，
解得，
所以秒后甲追上乙；

设秒时两人相距个单位长度．
当甲位于乙左侧时，可得：
，
解得；
当甲位于乙右侧时，可得，
，
解得．
答：甲、乙两人运动的时间为秒或秒时，两人相距个单位长度． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了列方程解应用题，涉及数轴上两点距离公式，相遇问题，追及问题，抓住等量关系是解题的关键所在，第小题是一个难点，突破方法是分情况解答．
根据两点间的距离公式即可求解；
设秒时，甲追上乙，、两点表示的数相等，列出方程进行解答；
设秒时两人相距个单位长度，分两种情况：当甲位于乙左侧时，当甲位于乙右侧时，分别列出方程解答即可．
【解答】
解：、两点的距离为；
，，
所以的中点表示的数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

19.【答案】解：由题意可得，


，
答：此点的高度大约是千米． 

【解析】根据题意可以列出相应的算式，从而可以解答本题．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
 

20.【答案】解：由题意得，，，
解得，，
所以，． 

【解析】根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
点表示的数是，
故答案为：；
，
，
当圆片结束运动时，点运动的路程共有，
，
，
此时点所表示的数是．
答：当圆片结束运动时，点运动的路共是，此时点所表示的数是．
利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和表示的数即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
 

22.【答案】解：由题意可得：，

解得
A、之间的距离是；
，
到点和点的距离相等，
到点和点的距离都是，
此时点所对应的数为；
设点表示数，点表示的数是，
，，
．
点对应的数为，
，
，
解得或
当在的右侧时，点对应的数是，
当在的左侧时，点对应的数是 ． 

【解析】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键．
先根据绝对值和偶次方非负数的性质求出、的值，根据数轴上两点间的距离公式求出、之间的距离即可；
根据到点和点的距离相等，可知点为的中点，即可求解；
设点表示数，点表示的数是，由判断出的符号，根据点距点个单位长度得出的值，再根据求出的值即可．
 

23.【答案】解：是“好数”，因为，，都不为，且，能被整除，
不是“好数”，因为，不能被整除；
，，，，，，共个，理由：
设十位数数字为，则百位数字为的整数，
，
当时，，
能被，整除，
满足条件的三位数有，，
当时，，
能被，，整除，
满足条件的三位数有，，，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
当时，，
能被整除，
满足条件的三位数有，
即满足条件的三位自然数为，，，，，，共个． 

【解析】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
根据“好数”的意义，判断即可得出结论；
设十位数数字为，则百位数字为的整数，得出百位数字和十位数字的和为，再分别取，，，，计算判断即可得出结论．
 

24.【答案】 

【解析】 共有人，
当优先选择租两人船时，
，
要租艘两人船，
每艘两人船的租金是每小时元，
租船的总费用为元．
当优先选择租四人船时，
，
要租艘四人船和艘两人船，
每艘四人船的租金是每小时元，
租船的总费用为元．
当优先选择租六人船时，
，
要租艘六人船，
每艘六人船的租金是每小时元，
租船的总费用为元．
当优先选择租八人船时，
，
要租艘八人船和艘两人船，
每艘八人船的租金是每小时元，
租船的总费用为元．
当租艘四人船，艘六人船，艘八人船时，租船的总费用为元．
，
当租艘四人船，艘六人船，艘八人船时，租船的总费用最低，最低是元．
 

25.【答案】解：，
，，
、均为非负数，
，，

点为线段的中点，，，
，
，
点为线段的中点，
，
． 

【解析】由，根据非负数的性质即可推出、的值；
根据所推出的结论，即可推出和的长度，根据图形即可推出，然后由，即可推出的长度，由为的中点，即可推出的长度，再根据线段的和差关系可求出的长度．
本题主要考查线段中点的性质，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．