人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 下列说法正确的是．(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2. 若，，，，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

4. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则有(    )

A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值

7. 若，则有(    )

A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为

8. 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地墙的长大于，则菜地的最大面积为  (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 若不等式与为实数同时成立，则下列不等关系可能成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，则下列结论错误的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

11. 下列说法中正确的有(    )

A. 不等式恒成立
B. 存在，使得不等式成立
C. 若，，则
D. 若正实数，满足，则

12. 若关于的方程的两根为正数包含等根，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设是任意实数，能够说明“若且，则”是假命题的一组整数的值依次为__________．
14. 克糖水中含有克糖，若再添加克糖，则糖水更甜了．请你运用所学过的不等式有关知识，表示糖水的浓度的变化现象用不等式表示为__________．
15. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是           ．
16. 若一元二次不等式的解集是，则的值是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知，，求证：．
18. 比较与的大小；

已知，，求证：，当且仅当时等号成立．

19. 某农家院有客房间，日常每间客房日租金为元，每天都客满该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加元，客房出租数就会减少间每间客房日租金不得超过元，要使每天客房的租金总收入不低于元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大
20. 运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶千米，按交通法规限制单位：千米时假设汽油的价格是每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．

求这次行车总费用关于的表达式；

当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

21. 在中，三个内角，，对应的边分别为，，，且满足．

求的值；

若的外接圆半径，求面积的最大值．

22. 已知函数，
    若的解集是，求，的值；
    若，解关于的不等式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的概念及性质，属于基础题．
根据不等式性质及取特殊值法来判断即可．

【解答】

解：对于，若，则，故A错误
对于，若，，则，故B错误
对于，若，，可得，若，，可得，则，
故C正确
对于，若，，则，故D错误．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于容易题．
利用不等式的基本性质性质即可判断，利用特殊值法举反例即可判断、、．

【解答】

解：对于，因为，、、，所以，故 A项一定成立；
对于，当时，，故B项不一定成立；
对于，当时，，故C项不一定成立；
对于，当时，那么，，则，故D项不一定成立．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质及不等关系，属于基础题．
利用特殊值法进行排除，再利用不等式的性质进行推理即可得出答案．

【解答】

解：令，，，，则，故错误
令，，则，故错误
令，，，，则，故错误
因为，所以即，故正确
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等，为基础题．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】
解：设，知 ，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．

【解答】

解：，则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：
，
当且仅当，即时取等号，故最小值为．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，属于基础题．
配凑，转化，再利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：因为，
所以，，
所以

，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

解法一：本题主要考查矩形面积公式和基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．
设矩形靠墙边的长为，另一边的长为，面积为，则，，利用基本不等式求最值即可，注意取等号的条件．
解法二：本题主要考查了矩形面积公式和二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
先设篱笆的宽为，长为，则其面积可表示关于边长的二次函数，接着在定义域内求最值．

【解答】

解法一：设矩形靠墙边的长为，另一边的长为，面积为，
所以由题意得：，
，
当且仅当时，等号成立，
所以当矩形长为，宽为时，矩形菜园的面积最大为．
故选：．
解法二：
设篱笆的宽为，长为，
故：，
当时，菜地的面积的最大值为
即：矩形的宽为，长为时，菜地的面积为最大值．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：由与，可得，
又，，
，即，同号，
或，
故选：．
由已知两个不等式，作差检验即可．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：
对于，令，，满足，但，故A错误，
对于，当时，，故B错误，
对于，，，当且仅当时，等号成立，故C正确，
对于，令，，，满足，但，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法和基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法和基本不等式的公式是解本题的关键，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式成立的条件，属于基础题．
对于，举反例可推翻结论；
对于，只要举例使得不等式成立即可；
对于和，利用基本不等式推导即可．

【解答】

解：：不等式只有在，都为非负数的时候才恒成立，故A错误；
：当时，，故B正确；
：若，，
则由基本不等式得，
当且仅当即时，等号成立，故C正确；
：若正实数，满足，
则，
当且仅当即时，等号成立，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的分布，关键是构建函数，用函数思想求解，属于中档题．
构建函数，结合二次函数图象得到不等式组，解不等式组得到实数的取值范围即可．
【解答】
解：由题意，构建函数，
因为关于的方程的两根为正数包含等根， 所以
解得， 
故选BCD．  

13.【答案】，， 

【解析】

【分析】
本题主要考查了不等式及命题的真假，属于基础题．
取，，可以说明原命题为假命题．
【解答】
解：“若且，则”是假命题，
，，时，能够说明该命题为假命题．
故答案为，，．  

14.【答案】 

【解析】糖水中含有克糖，

即含糖分为；

再添加克糖，

即克糖水中含有克糖，

含糖分为；

又因为糖水变甜了，

所以．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意可得一年的总运费与总存储费用之和，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和万元．
当且仅当时取等号．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查一元二次不等式的解集，明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解题的关键，属于基础题．
根据一元二次不等式的解集为，可得方程的解为，，利用韦达定理即可解答本题．

【解答】

解：一元二次不等式的解集为， 
方程的解为，， 
，， 
，， 
， 
故答案为．
 

17.【答案】证明：，．

将不等式的两边同乘，可得．
又，

在不等式的两边同乘，得．

【解析】本题为不等式的证明题，本题考查不等关系的应用，以及不等式的性质，运用性质时不等号的方向是否改变是此类题的注意点，是容易题．

不等式的两边同乘，可得，在不等式的两边同乘得证．

18.【答案】解：

，
， 
当且仅当，时，等号成立．
证明：
，
当且仅当时取等号． 
又，，
当且仅当时取等号．
即，当且仅当时等号成立． 

【解析】本题考查不等式的性质以及大小比较，属于基础题．
运用作差法即可得到大小关系；
本题考查不等式的性质以及证明，属于基础题．
运用作差法即可得到结论．
 

19.【答案】解：设每间客房日租金提高个元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元因为每天客房的租金总收入不低于元，

所以．

化简，得

解得，

所以又由题意可知，所以因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是元．

【解析】本题主要考查了二次函数模型的运用及利用不等式表示不等关系，属于基础题．
结合题意列出不等关系，再解一元二次不等式结合即可解答．
 

20.【答案】解：设所用时间为，
，．
所以，这次行车总费用关于的表达式是，．
，
当且仅当，
即，等号成立．
故当千米时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元． 

【解析】本题考查函数的实际应用问题，属于中档题．
总费用汽油费人工费，汽油费时间单位时间的费用，人工费时间时间单位时间的费用，因而可写出总费用的表达式；
利用基本不等式即可求解．
 

21.【答案】解：对于，
由余弦定理得，
整理为，
故．
因为，所以，则．
当时，由，得，
所以，
当且仅当时等号成立．
当时，由，
得，即，
所以，
当且仅当时等号成立． 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用以及基本不等式应用，属于中档题．
利用余弦定理化简即可求
由正弦定理求，利用余弦定理和基本不等式求的最大值，即可求解．
 

22.【答案】解：由题意得，，是方程的两根，
所以，，解得，．
当时，即，
也即，
当时，由可得或；
当时，由可得；
当时，由可得或；
综上，当时，的解集为或；当时，的解集为；
当时，的解集为或． 

【解析】由的解集是知，是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
把替换下，然后按照的两根大小关系分类讨论即可．
本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键．