高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试学案设计，共6页。




[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


【例1】 如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是( )


A．ab＞ac B．c(b－a)＞0


C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0


C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.


对于A：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(b＞c,a＞0))⇒ab＞ac，A正确．


对于B：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(b＜a⇒b－a＜0,c＜0))⇒c(b－a)＞0，B正确．


对于C：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(c＜a,b2≥0))⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．


对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，故选C.]





式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.





eq \([跟进训练])


1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )


A．ab>ac B．ac>bc


C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2


A [由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，


又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.]


2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．


－1≤a－b≤6 [∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.]


【例2】 设x<－1，求y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最大值．


[解] ∵x<－1，∴x＋1<0.


∴－(x＋1)>0，


∴y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)＝eq \f(x2＋7x＋10,x＋1)


＝eq \f(x＋12＋5x＋1＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋5


＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋1＋\f(4,－x＋1)))＋5


≤－2eq \r(4)＋5＝1，


当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]





基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.





eq \([跟进训练])


3．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．


2 [xy＝eq \f(1,2)·x·(2y)≤eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))eq \s\up12(2)＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]


【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.


[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.


函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以


(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；


(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；


(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．





解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.





eq \([跟进训练])


4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.


2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，


所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，


且m>1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]


【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．


(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．


(1)－eq \f(\r(2),2)＜m＜0 [由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，


所以只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2－1＜0，,2m2＋3m＜0，))解得－eq \f(\r(2),2)＜m＜0.]


(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m


＝(x－2)m＋x2－4x＋4，


g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．


由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2×－1＋x2－4x＋4＞0，,x－2＋x2－4x＋4＞0，))


解得x＜1或x＞3.


故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．





对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：


1变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.


2转化法求参数范围,已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，


则1y≥k恒成立⇒y＝ax2＋bx＋c的最小值大于等于k，即m≥k；


2y≤k恒成立⇒y＝ax2＋bx＋c的最大值小于等于k，即n≤k.





eq \([跟进训练])


5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1

[解] ∵1

∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>eq \f(2x－2,x2).


令y＝eq \f(2x－2,x2)，且1

则y＝eq \f(2x－2,x2)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)，


当且仅当eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)，即x＝2时，函数y取得最大值eq \f(1,2)，


∴a>eq \f(1,2)即为所求．


[培优层·素养升华]


【例】 某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，m h内供水总量为120eq \r(6m) t(0≤m≤24)．


(1)开始供水多长时间后，蓄水池中的水量最少？最少水量是多少吨？


(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天之中，有几个小时出现供水紧张现象？


[思路分析] 由于题目解析式中既有m，也有eq \r(m)，两者为二次关系，可构造一元二次不等式求解．


[解] (1)设开始供水m h后，蓄水池中的水量为y t，则y＝400＋60m－120eq \r(6m)＝60(eq \r(m)－eq \r(6))2＋40.


∴当eq \r(m)＝eq \r(6)，即m＝6时，y的最小值为40.


故开始供水6 h后，蓄水池中水量最少，最少水量为40 t.


(2)令eq \r(6m)＝x(x≥0)，由题意，得400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，


解得4＜x＜8，则16＜x2＜64.


∵x2＝6m，∴16＜6m＜64，


∴eq \f(8,3)＜m＜eq \f(32,3).


∵eq \f(32,3)－eq \f(8,3)＝8，


∴每天有8 h出现供水紧张现象．





1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．


2．在理解题意的基础上列出函数关系式是解答本题的关键，其中求解第(2)问时，重要的一步是将eq \r(6m)换元，将问题转化为一元二次不等式问题．另外，要注意换元后新变量的取值范围．本题主要涉及数学建模及数学运算素养．





eq \([素养提升])


某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；


(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？


[解] (1)由题意得


y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，


必须有y－(12－10)×10 000>0(0

即－6 000x2＋2 000x>0(0

所以投入成本增加的比例x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




不等式的性质
基本不等式
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题