人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《一元二次函数.方程和不等式》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 定义运算：，例如则下列等式不能成立的是(    )

A.
B.
C.
D. 其中

2. 已知三个正数，，满足，，则以下四个命题正确的是(    )

：对任意满足条件的，，，均有；

：存在一组实数，，，使得；

：对任意满足条件的，，，均有；

：存在一组实数，，，使得．

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 对于实数下列说法：若，则；若，则；若则；若，且，则的最小值为其中是真命题的为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为  (    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是

A. 或 B. 或
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知幂函数，对任意，，且，都满足，若，且，则下列结论可能成立的有(    )

A. 且 B. 且
C. 且 D. 以上都有可能

11. 已知，，下列命题中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

12. 下列命题正确的是(    )

A. 使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是
B. 在上恒成立，则实数的取值范围是．
C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或
D. 若不等式的解集为或，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是______．
14. 已知正数满足，则的最小值为        ．
15. 已知为正实数，则的最小值是          ．
16. 已知正数满足，且，则的取值范围是_________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知．

  求在上的最大值及最小值．

  ，设，求的最小值．

18. 已知函数，．

若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围

若，，，，，求证：．

19. 如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米．

求证：；

为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；

求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．

20. 设函数，．

解不等式；

若函数的最小值为，且正数，满足，求 的最小值．

21. 已知函数，

恒成立，求实数的取值范围；

当时，求不等式的解集；

若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．

22. 已知函数．

判断的奇偶性，并说明理由；

解关于的不等式；

探究关于的方程的解的个数．直接写出结果．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义问题和相等关系判断，是较难题．
利用题中的新定义知表示，中的最大数，分别对各选项判断即可．

【解答】

解：由题中的定义知表示，中的最大的数，
与表示的都是，中的最大数，故成立；
与表示的都是，，中的最大数，故成立；
表示，中最大数的平方，表示，中的最大数，例如，，，，则不成立；
，表示，中的最大数与的乘积，表示与中的最大数，故
故A、、都对．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全称量词和特称量词，可行域及导数的应用，属于较难题．
举出反例可判断和，转化为线性规划问题可判断和．
【解答】
解：当，，时，满足，，
此时，故错误正确；
令，，则，，
将式子同除以，得，
将式子同除以，得，
得，画出可行域

两边同除以，得，
联立，解得
函数也经过点，
函数的导数为，当时，导数值为，
可得直线是函数的切线，
则恒成立，即恒成立，正确，错误，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质、比较大小，考查函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性、以及不等式的性质，考查运算能力，属于拔高题．
由特殊值，可判断；由在上递增，可判断；运用作差和不等式的性质，可判断；运用绝对值函数的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断．

【解答】

解：对于实数，，若，则时，不成立，错误；
，由为奇函数，且时，递增，可得在上递增，若，则成立，正确；
，若，，则可得成立，正确；

，若且，则，
即有，，可得，
即在递增，
可得成立，错误．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式的应用，属中档题．
依题意利用换元法，可将问题化为，，求的最小值问题，由基本不等式可得答案．
【解答】
解：设，则，
所以
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值是，
则的最大值为．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值的方法，考查基本不等式的适用条件，属于较难题．
先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．

【解答】

解：，，，
，
，

，
，
当且仅当即时取，
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

首先分析题目由已知，，，则由基本不等式，将“”看作整体，可得一元二次不等式，解不等式求最值．
此题主要考查基本不等式的用法和一元二次不等式的求解，属于拔高题．

【解答】

解：，
当且仅当时取等号，
整理得
即，又，
所以，
则的最小值是．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次不等式的求解，推导出，的解集中的整数恰好有个，从而，不等式的解集为，确定解集端点的范围，解出的取值范围．
【解答】
解：因为正数，满足，
所以，
因为关于的不等式的解集中的整数解恰有个，
所以的解集中的整数恰好有个，
所以，
所以不等式的解集为，
所以解集里的整数是，，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
综上，，
故的取值范围是．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
先将原不等式化成一元二次方程的一般形式，再对其二次项系数进行分类讨论，最后利用根判别式即可解决问题．
【解答】
解：原不等式可化为，
显然时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的均成立，
必须有，即
解得．
故本题选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，比较大小，不等式性质，对数运算，指数函数性质，属难题．
由结合指数函数性质即可判定；
由计算即可判定；
由计算即可判定；
由计算即可判定．

【解答】

解：对于，因为，，且，
所以，
所以，所以，故A正确；

对于，，
当且仅当，即时取等号，
所以，故，故B正确；

对于，，
当且仅当，即时取等号，
故，
得，故C正确；

对于，已知，，且，
所以，
即，则，
当且仅当，即时取等号，故D错误．

故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性及奇偶性的应用，考查分类讨论思想及不等式的性质．
由幂函数的定义可得的值，结合函数在上的单调性，确定，由函数的单调性及奇偶性可知，根据不等式性质即可判断．

【解答】

解：由函数为幂函数可知，
解得或，
当时，；当时，，
由题意知函数在上为增函数，
因此，在上单调递增，
且满足，
结合以及
可知，
所以，即，，
当时，，；
当时，，；
当时，或或，故BC都有可能成立．
故选BC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对数与对数运算，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于中档题 
由题意，依次对各选项进行分析：对，利用对数运算以及基本不等式可判其正误；
对，化简得到，可得，即判不正确；
对，得到，反复利用此式，化简所求式为，于是利用基本不等式求最值，即可判断其正误；
对，根据题设条件得到，，化简所求式为，于是利用基本不等式求最值，即可判断其正误．
【解答】
解：由题意，依次对各选项进行分析：
对，因为，，则，即得当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；
对，因为，，，即，即得，当且仅当，即时，等号成立，故B不正确；
对，因为，，，所以，


，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对，因为，所以，
即得，
因为，，所以，，
且有


，
当且仅当，即，时，等号成立，
故D正确．
故选ACD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立问题，属于拔高题．
选项A：结合二次函数图象性质即可判断
选项B：已知不等式在区间内恒成立，结合二次函数性质列不等式求解即可
选项C：根据不等式解集得出与的关系，再解分式不等式即可
选项D：首先根据不等式解集为或得出的正负，再根据区间端点得到再进行判断即可．

【解答】

解：对于，要使关于的方程的一根比大且另一根比小，
令，则有，
即，解得，故A正确；
对于，因为在上恒成立，
令，
则，即，解得，故B错误；
对于，因为关于的不等式的解集是，
所以，则关于的不等式等价于，
即，解得或，故C正确；
对于，若不等式的解集为或，
则，且，
又，，故D正确．
故选ACD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解一元二次不等式，解题关键是掌握“三个二次”的关系，即二次方程的解，二次函数图象与一元二次不等式的解集之间存在的联系本题不等式的解集问题最终转化为二次方程根的分布问题，首先分析整数只有是不等式的解，然后根据不等式的解集与二次方程根的关系，确定二次方程根的分布，由此可求解．

【解答】

解：记题中不等式的解集为，易知，而，因此只有，，

设方程的两根为，则有，，

记，，
，此时恒成立，
若，，
此时原不等式为，解集为，满足题意，
若，则，
，，
，
综上的取值范围是．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值问题，涉及到一元二次方程根的求解和二次函数的性质，属于基础题，将展开，看作关于的一元二次方程，求出的表达式，代入根据不等式即可求解．
【解答】
解：因为正数满足，
所以得到，
解得：，
所以当且仅当时取等号，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，综合性强，属于拔高题．
因为，令，即原式，计算得原式，即可得到答案．

【解答】

解：因为，
令，
因为，所以，

所以原式，
又因为，
所以，

所以，
所以原式
，

当且仅当，即时，取等号，
故答案为．

16.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本不等式及函数的单调性等，解题的关键是对隐含条件的挖掘，属于中档题．

由已知可得，结合及，可求的范围．

【解答】
解：正数，，满足，即，
，由且，可得
，，整理可得，
 ，，
，
令 ，则，
则在上单调递减，在单调递增，

当时，有最小值，当或时，有最大值，
的取值范围是
故答案为

17.【答案】解：，

时，；
，
，
即的最小值为 ． 

【解析】本题考查了绝对值不等式，基本不等式的性质以及函数的最值等，是一道中档题．熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键．

求出的分段函数的形式，求出的最大值和最小值即可；
求出，根据不等式的基本性质计算即可．

18.【答案】【解】在上任取，，且，则 恒成立，又，，， ，故，即实数的取值范围为

【证明】先证明： ，．

因为当时， 当且仅当时等号成立，所以，
所以，，又当时，，故，

所以 ，即

因为，所以当且仅当或时等号成立，所以．

因为，，，所以 ， ，，

所以 ，即．

综合，得证．

【解析】略
 

19.【答案】解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
则与相似，
从而，                      
所以，
即                           
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小．
由得， ，
当且仅当，即，时，“”成立，
故当，时，剩下木板的面积最大．
       
欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时，． 

【解析】本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于较难题．
先过点分别作，的垂线，垂足分别为，，可得到与相似，从而得到；
由题意利用基本不等式即可得到的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；
由题意知要使最小，再由得到的与相乘，利用基本不等式即可得到的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值．
 

20.【答案】解：即为，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可得的解集为；
，
当且仅当，取得等号，
即有的最小值为，即，，，
，
当且仅当，即，时，取得最小值． 

【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，是一道常规题．
通过讨论的范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可；
根据基本不等式求出 的最小值即可．
 

21.【答案】解：，
即，
当时成立
当时，则解得，
综上，的取值范围为．
由题意，，即，         

因为，所以解方程得，

当时，即当时，解不等式，
得或，

此时不等式的解集为或；

当时，即时，解不等式，得，

此时不等式的解集为；         
当时，即当时，解不等式，得或，

此时不等式的解集为或；   

综上，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或

当时，令， 
当且仅当时取等号，                             

则关于的方程可化为，

关于的方程有四个不等实根，                      

即有两个不同正根，                                 

则，                                   

由知：存在使不等式成立，
故，

即，解得或，

由式可得，  

故实数的取值范围是  

【解析】本题考查 二次不等式的求解、不等式的恒成立问题及二次方程根的分布问题，同时考查基本不等式的应用属于较难题．
由题意得恒成立，分和两种情况求解即可；
分类讨论与的大小，然后由二次不等式的解法求解即可
令，将问题转化为有两个不同正根，然后得与的不等式组求解即可．
 

22.【答案】解：定义域关于原点对称，
当时，，
则，

当时，，
当时，，
则，

综合得，对于任意的都满足
为偶函数 

当时，，，
或，

当时，，，
或，

 综上得的解为或，
由得
 或，
或．

由得
 如图：画出的图象

       可得：或时，解的个数为个；

或或时，解的个数为个；

时，解的个数为个；

时，解的个数为个．

【解析】本题考查函数的奇偶性判断，分段函数与不等式，以及方程的解的个数，属于一般题．
根据函数的奇偶性定义进行判定即可；
先解决的解问题，即可解不等式；
画出的图象，观察即可写出结果．