【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：《第二章 一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测（B卷）

《第二章 一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测（B卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1. 不等式的解集为  (    )

A.  B.
C. 或 D. 或

【答案】C 

【解答】

解：原不等式可化为，即，所以或
故选

2. 已知且，则的零点个数为  (    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数零点个数，属于基础题．
由，且，可得对应方程的，可得方程有两个不等实根，由二次函数零点与一元二次方程解的关系可得结论．

【解答】

解：因为，且，所以，所以对方程，
有，因此二次函数有2个零点，
故选

3. 设R，则“”是“”的  (    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
解得a的范围，即可判断出结论．

【解答】

解：由，解得或，反之，由得，
则”是“”的充分不必要条件，
故选：

4. 要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是  (    )

A.  B.
C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
由题，需满足时，，求解即可.

【解答】

解：由题意，设，要使得关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，
则根据二次函数的图象与性质，知需满足时，，即，
即，解得
故选

5. 已知不等式组的解集是关于x的不等式解集的子集，则实数a的取值范围是  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，涉及到子集的知识，属于中档题.
先解出不等式组的解集，再根据题意中的包含关系得出结果.

【解答】

解：由不等式组得，
所以不等式组的解集是，
由题意知，关于 x的不等式解集包含，令，
则解得，
故选

6. 已知，恒成立，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图象和性质来讨论，

【解答】

解：因为，所以恒成立等价于恒成立，故，
即故选

7. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用，属于中档题.
由题意，每年销售木材万立方米;故每年税金收入为万元，从而令解得.

【解答】

解：由题意，每年销售木材万立方米;
故每年税金收入为万元，
故由题意得，
解得
故选

8. 在R上定义运算⊗：若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为  (    )

A.  B.
C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

根据新定义化简不等式，得到，因为不等式恒成立，即要，即可求出解集即可得到a的范围．

【解答】

解：由，得，即，
令，此时只需
又，所以，即，
解得 .
故选

 二、多选题

9. 关于不等式的解集，下列判断正确的是  (    )

A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为

【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法和分式不等式的解法.
结合一元一次不等式、一元二次不等式的解法和分式不等式的解法逐一分析求解即可.

【解答】

解：对于A，由得，A错误；
对于B，解不等式，得，B正确;
对于C，由知无解，即解集为，C正确;
对于D，由得， D正确.
故选

10. 已知的解集为，则下列x的取值范围能使不等式成立的为  (    )

A.  B.
C.  D.

【答案】BC 

【解析】

【分析】

此题考查一元二次不等式的解法.
由已知可知和2是方程的两根，再根据韦达定理得到，，再根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【解答】

解：由题意知，，是方程的两根且，
，，
，，
可化为，，
化简得，
或
故选

11. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论正确的是  (    )

A. 当时，，
B.
C. 当时，
D. 二次函数的图象与x轴交点的坐标为和

【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象特点，考查方程思想和运算能力．
由，解二次方程可判断A；由二次函数的配方可得最小值，即可判断B；由二次函数的性质可判断C和

【解答】

解：易知当时，的根为2，3，故 A正确;
设，因为的图象与有两个交点，
所以，故B正确;
当时，的图象由的图象向下平移m个单位长度得到，，故C错误;
因为，所以二次函数的图象与x轴交点的坐标为和，故D正确.
故选

12. 已知关于x的不等式的解集为，则  (    )

A. 的解集为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为

【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，属于中档题.
根据不等式的解集为及根与系数的关系，得到，，然后逐项判断.

【解答】

解：不等式的解集为，
根据根与系数的关系，可得，
可化为，解得 ，正确;
，正确;
，，，
当且仅当，即时取等号，，
的最大值为，正确，D错误.
故选

  三、填空题

13. 已知集合，集合，若，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了含参数的交集运算问题，属于中档题.
根据A与B的交集为空集，分A为空集与A不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．

【解答】

解：当时，
，解得；
当时，易知方程的两根为负实根，
则，得，
所以m的范围是
故答案为

14. 如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆平行于的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为如果围成的花圃的面积不少于，则x的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的模型及应用.
列出函数解析式，令，结合x范围求解即可.

【解答】

解：由题意得，其中，且，即
令，解得，又，所以

15. 若实数，为方程的两根，则实数m的取值范围是__________，的最小值是__________.

【答案】

或2

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质.
根据根的存在性求解m的取值范围，再利用韦达定理对，进行代换，求得最值.

【解答】

解：由题意知，，
解得或
，，
令，
则



，
又或，
所以当时，y取得最小值，

16. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，解法为：由得，令，则，所以不等式的解集为参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为__________.

【答案】

或 

【解析】

【分析】

解本题的关键是新方法学习的迁移与阅读能力，灵活用替换x求解，需注意的是解不等式或直接去分母易错.考查逻辑推理与数学运算素养.

【解答】

解：用替换中的x，
得，
可得或，
可得或，
即所求解集为或

  四、解答题

17. 在①，②关于x的不等式的解集为，③一次函数的图象过，两点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：已知__________，求关于x的不等式的解集．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】

解：选①若，解得，不符合题意;
若，解得，则符合题意.将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或
选②因为不等式的解集为，所以，解得，将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或
选③由题得解得将代入不等式整理得，解得或，故原不等式的解集为或 

【解析】选①，分两种情况：，或，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选②，由，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
选③，由，求得a的值，把a值代入一元二次不等式，即可求得答案．
本题考查了集合的关系与不等式的解法和应用问题，是中档题．

18. 当时，若关于x的二次方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．

【答案】

解：令，则由题意知其图象与x轴有2个交点，则
，得故实数m的取值范围是 

【解析】本题主要考查了函数零点与方程根的关系以及二次函数的零点与一元二次方程解得关系，属于基础题.
令，由题意可得，求解即可.

19. 已知不等式

当时，解此不等式；

若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

【答案】

解当时，不等式为，
，所以不等式的解集为已知不等式可整理成，
当，即时，不符合题意.
当，即时，不符合题意.
当，即时，要使的解集为R，
则有，解得
综上所述，实数a的取值范围是 

【解析】本题考查一元二次不等式的解法.将a代入，解不含参的一元二次不等式即可;即不等式恒成立，求解参数即可.

20. 设p：实数x满足，q：实数x满足

若，且p，q都为真命题，求x的取值范围；

若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】

解：若，则可化为，得，
若q为真命题，则
，q都为真命题时，x的取值范围是由，得，是p的充分不必要条件，
，则，得
实数a的取值范围是 

【解析】本题主要考查了命题的真假判定，考查充分不必要条件的应用，不等式求解.根据已知及命题的真假判定，不等式求解的计算，求出x的取值范围，根据已知及充分条件，必要条件的判定，不等式的计算，可得，即可求出实数a的取值范围．

21. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年的电费为24万元．为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网．修建沼气发电池的费用单位：万元与沼气发电池的容积单位：米成正比，比例系数为修建沼气发电池后该合作社每年的电费单位：万元与沼气发电池的容积单位：米之间的关系为为常数记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年的电费之和为单位：万元

写出F关于x的函数关系．

该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F最小？并求出F的最小值．

要使F不超过140万元，求x的取值范围．

【答案】

解：由题意可得，当时，，则
所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年的电费之和为
，由知，
当且仅当，即时，等号成立，
即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池，可使F最小，且最小值为90万元.为使F不超过140万元，只需，整理得，
则，解得，即x的取值范围是 

【解析】本题重点考查函数模型和基本不等式的实际应用.由，得，进一步可求得F关于x的函数关系；利用基本不等式即可求解；解即可.

22. 已知二次函数

是否存在实数a，b，使不等式的解集是？若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；

若a为整数，，且方程在上恰有一个实数根，求a的值．

【答案】

解：不等式的解集为，
方程的两根是1，
则，解得，，
又当时，不等式的解集不可能为，
不存在实数a，b使不等式的解集是
，
对于方程，
，
方程有两个不相等的实数根.
又方程在上恰有一个实数根，
，
解得，又， 

【解析】本题考查二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系.由一元二次不等式的解法可知的两根是1，利用根与系数之间的关系求出a，b的值进行检验即可求解；将代入原方程得：，由该方程的可知有两个不等的实数根，再由零点存在性定理列不等式，结合即可求解.