人教A版（2019）高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 集合，，，则对任意的，有下列四种说法：；；；，其中一定正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 已知非空集合，满足以下两个条件：

，；

(ⅱ)若，则．

则有序集合对的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知集合，，，则集合的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知集合其中，，其中则与的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知非空集合满足以下两个条件：

；

的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素．

则有序集合对的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，是有限集，定义：，其中表示有限集中元素的个数下面判断正确的是(    )
   命题：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；
   命题：对任意有限集，，，

A. 命题和命题都成立 B. 命题和命题都不成立
C. 命题成立，命题不成立 D. 命题不成立，命题成立

7. 给出下列三个命题：命题：，则；“为假命题”是“、均为假命题”的必要不充分条件；“若，则”为假命题其中正确的命题个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列有关命题的说法错误的是(    )

A. 命题“若则”的逆否命题为“若则”
B. 在中，，则
C. 是充分而不必要条件
D. 若命题：，，则命题：，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是(    )

A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合，为闭集合，则为闭集合

10. 多选对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是  (    )

A. 若，，且，则；
B. 若，，且，则；
C. 若，，且，则；
D. 存在，，使得

11. 下列说法不正确是(    )

A. 不等式的解集为
B. 已知：，：，则是的充分不必要条件
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是

12. 取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有(    )

A.    B.
C. 则 D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集．给出下列说法：

集合为封闭集；

若为封闭集，则一定有；

封闭集一定是无限集；

若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．

其中说法正确的是__________填序号．

14. 已知，集合，集合，若，则实数的取值范围是          
15. 若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合上的一个拓扑．已知函数，其中表示不大于的最大整数，当，时，函数值域为集合，则集合上的含有个元素的拓扑的个数为______ ．
16. 若，为假，则实数的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知，，求实数的值；
    
    已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
18. 已知集合，集合．

若，求实数的取值范围；

若，求实数的取值范围；

、能否相等？若能，求出的值；若不能，试说明理由．

19. 设集合，．

若，求实数的值；

若，求实数的取值范围；

若全集，，求实数的取值范围．

20. 已知全集，关于的方程有正负相异的实数根，非空集合．
    求集合；
    求集合；
    若是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
21. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则．

若，求出中的另外两个元素；

给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；

若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合．

22. 设集合，，

若，求实数的值；

若，求实数的取值范围；

若，，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查元素与集合的关系，较难题．
根据集合，，中元素的性质，分别判断，，，，即可得出结论．

【解答】

解：因为，，，，
所以，且，
所以；
又又不一定是的倍数，
所以不一定属于集合；
因为，且，所以；
因为，
所以又不一定是的倍数，所以不一定属于集合．
所以只有一定正确，
则一定正确的个数为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力．分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
【解答】
解：若集合中只有个元素，则集合中有个元素，则可以为，，，，，有种；
若集合中只有个元素，则集合中有个元素，则可以为，，，，，，有种；
若集合中只有个元素，则集合中有个元素，则只能是，只有种，
则共有有序集合对个，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合之间关系的判断．
对集合分析，当为偶数时，它与集合相等，所以集合是集合的真子集；又集合和集合相等，从而得出集合、、的关系．

【解答】

解：集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，集合，
可得，
综上可得．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，还考查了转化化归分类的思想，属于难题．

先任取，分同为奇数或同为偶数和一奇一偶两种情况向集合进行变形，得到形式，说明同理任取，变形为说明得到．

【解答】

解：任取

当同为奇数或同为偶数时， 

当一奇一偶时，

因为所以，

所以

所以

任取，

，

所以

所以

故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查元素与集合的关系，交集、并集及其运算，考查了分类讨论思想，属于中档题．
分别讨论集合，的元素个数，即可得到结论．
【解答】
解：由题意，
当集合中只有一个元素时，集合中有个元素，
则且，此时，；
当集合中有个元素时，集合中有个元素，
则且，此时集合中必有一个元素为，集合中必有一个元素为，
所以，，或，，
或，，或，，共种可能；
易知集合中不可能有个元素；
当集合中有个元素时，集合中有个元素，
此情况与情况相同，只需，互换，共种可能；
当集合中有个元素时，集合中只有个元素，
此情况与情况相同，只需，互换，共种可能．
综上，有序集合对的个数为．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，属于基础题，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系．
命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
借助新定义，根据集合的运算，判断即可．

【解答】
解：对于命题，若，则，从而有，即充分性成立反之，若，则，可得，即必要性成立，故正确．
对于命题，作韦恩图如图．

其中，，，，，，分别为相应部位元素个数，且均为非负整数．

则，

，．

同理，，

，

．

，

即故正确故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是全称命题的否定命题的真假性判断，充分条件和必要条件，属于基础题．
写出原命题的否定命题即可判断，根据复合命题真假判断真值表和充分条件和必要条件即可判断，写出原命题的逆否命题，并判断真假即可判断．
【解答】
解：命题：，则；故错误；
若“为假命题”则、至少有一个是假命题，则“为假命题”是“、均为假命题”的不充分条件
若“、均为假命题”则“为假命题”是假命题，则“为假命题”是“、均为假命题”的必要条件故正确
“若，则”的逆否命题为“若，则”为真命题，故原命题也为真命题，故错误．
故正确命题的个数是个．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，
【解答】
解：，“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确，
，在中，由正弦定理可得，所以，正确
，，解得，是充要条件，不正确，
，命题：使得，则：，均有，正确，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，属于拔高题． 
根据闭集合定义逐一判断即可．

【解答】

解：当集合 时， ， 而 ，所以集合 不为闭集合，选项A不正确． 
B.设 是任意的两个正整数， 则 ，但 不一定属于 ，如，，不属于正整数，所以正整数集不为闭集合，选项 B不正确． 
C.当 时，设  ，则 ， ， 所以集合 是闭集合，选项C正确． 
设 ， ，由 可知，集合 ， 为闭集合， ， 而 ，此时 不为闭集合，选项D不正确．
所以说法中不正确的是．
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查新定义，考查了交、并、补集的混合运算，属于较难题．
根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．
【解答】

解：对于选项，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即选项正确；

对于选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项正确；

对于选项，因为，所以，所以，即选项错误；

对于选项，时，，，D正确．

故选．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解法，充分不必要条件的判定，基本不等式的最值和不等式恒成立问题，考查了考生的理解，记忆，转化能力，属中档题．
对选项ABCD分别进行判断即可得．
【解答】
解：对由可得，所以或，所以A错误．
对：由可得，所以，
所以：是：的充分不必要条件所以B正确；
对由，当且仅当时取等号，
但是，所以，
所以C错误．
对：若当时，不等式恒成立，
当时，不等式为为恒成立，满足题意；
当时，只要，解得；
所以不等式的解集为，则实数的取值范围为，所以D错误．
故选ACD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，分类讨论思想和特殊值法，考查了应用所学知识处理问题的能力，属于较难题．
利用全称量词命题的真假判定，结合特殊值法，对进行判断，再利用存在量词命题的真假判定，结合特殊值法对进行判断，利用题目所给定义，设，则，，通过计算，对进行判断，利用题目所给定义，设，，结合对取值的讨论，通过计算，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于、当时，，，
所以，因此不是真命题；
对于、当时，，，
所以，即，使得，因此是真命题；
对于、因为，，
所以不妨设，则，，
因此，所以，因此是真命题；
对于、，不妨设，，
则，．
因为，所以，
因此当时，，
即；
当时，，
即．
综上所述，，，因此不是真命题．
故选BC．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用．
由题意直接验证即可判断正误；令可推出是正确的；找出反例集合，即可判断的错误；令，，推出不属于，判断是错误的
 

【解答】

解：对，任取，，不妨设，，则，其中，均为整数，即同理可得，；
对，当时，；
错，当时，是封闭集，但不是无限集；
错，设，显然不属于，则是封闭集，不是封闭集．
因此，说法正确的是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查集合与不等式的解法，考查转化思想和运算能力，考查了集合的关系和运算，熟练掌握相等的定义和空集是解本题的关键，属于难题．
由题意可得，集合可化为，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
解：已知，集合，集合，
由集合，有：，

集合：，可得：，
即：，
若，
即：，与：解集相同．
可得：时，才有与集合相同的不等式，才有相同的解集，
则集合： ，
且，
所以有：且，
解得：
解得：，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：函数，其中表示不大于的最大整数，当，时，函数值域为集合，依题意，，故，
当时，则，，
当时，显然，
当时，，，
当时，，
，
中含有个元素，其中两个元素和，
其它两个元素为，，则
由对称性，不妨设，其中、表示集合中元素的个数，
，又，或，
若，则只能等于，若，则，则，矛盾
则必有，的个数的个数种．即或或
若此时满足，且且，，
的选择共有种，则的个数有种，
的个数种．这种是，，，，，．
综上可知的个数为个．
故答案为：．
根据集合上的拓扑的集合的定义，判断的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合上的含有个元素的拓扑的个数．
本题考查集合的关系，元素个数的判断，考查推理与证明，注意拓扑知识的应用，难度比较大．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了含有量词的命题的否定，命题真假的判断问题，也考查了转化思想．
若，为假，则命题题的否定为真，利用分离常数法和基本不等式求出的取值范围．

【解答】

解：若，为假，
则命题的否定为真，即，为真，
所以对任意实数恒成立；
设，；
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．

17.【答案】解：因为，所以有或，显然，

当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；

当时，解得，，
由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，
当时，，符合题意

故．

由于中有两个元素，
关于的方程有两个不等的实数根，

，且，即，且．

故实数的取值范围是．

【解析】本题考查元素与集合的关系．
因为，所以有或，再检验是否满足集合元素的互异性即可得到答案；

由于中有两个元素，则关于的方程有两个不等的实数根即可解答．

18.【答案】解：，

时，

时，，

时，，

若，集合，

那么时，，即，

时，，即，

综上，或；

若，集合，

时，满足；

时，，即；

时，，即；

综上，；

若、相等，即且，

结合的结论分析可得，

．

【解析】本题考查集合关系中参数范围的确定．利用分类讨论思想求解是解决此类题的常用方法．
由是的子集，确定实数的取值范围；
由是的子集，确定实数的取值范围；
假定、相等，由前两问可确定的值．
 

19.【答案】解：由，
得，因为，所以，

所以，

整理得，解得或，

当时，，满足；

当时，，满足；

故的值为或；

由题意，知，

由，得，

当集合时，关于的方程没有实数根，

所以，
即，解得；

当集合时，若集合中只有一个元素，
则，

整理得，解得，

此时，符合题意；

若集合中有两个元素，则，

所以，无解，

综上，可知实数的取值范围为；

由，可知，

所以
所以

综上，实数的取值范围为．

【解析】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．
根据集合交集的定义计算即可；
根据并集的定义即可得出答案，解题是主要分和两种情况求解
由，可知，所以，解方程组即可得出答案．
 

20.【答案】解：由，可得，分和两种情况，
当，即时，集合．
当，即时，集合．
综上，当时，集合．
当时，集合．
因关于的方程有正负相异的实数根，
，且，
，或，
或；
故集合．
若是的必要非充分条件，则，由、可得：
当时，集合，则，；
当时，集合，则，．
综上，实数的取值范围为 

【解析】由，可得，分和两种情况讨论求出集合；
关于的方程有正负相异的实数根，结合韦达定理及二次函数图象性质，求出集合，然后再求出的补集；
是的必要非充分条件，判断出两个集合的包含关系，从而求出实数的取值范围．
本题考查了集合间的关系，一元二次不等式的解法，一元二次方程根的情况，充分、必要条件，分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，
所以中的另外两个元素为和；
若中有且仅有一个元素，则，即无实数解，
若中有且仅有两个元素，，故，即无实数解，
所以命题“中至少有三个元素”正确；
由知，则，，
所以中的元素个数为个，其中一个元素是 ，
于是，解得． 

【解析】本题考查集合的求法，考查集合中元素的个数的求法及应用，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由，得到，，，由此能证明中的另外两个元素为和；
分类讨论，若中有且仅有一个元素，则，即无实数解，若中有且仅有两个元素，则，即无实数解，故可判断命题“中至少有三个元素”正确；
则，，可知中的元素个数为个，其中一个元素是 ，进而得到，由此能求出集合．
 

22.【答案】解：由得或，故集合
，，，
将代入中的方程，得，或
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或   
对于集合，．
，，
当，即时，，满足条件；
当，即时，，满足条件；
当，即时，才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即矛盾；
综上，的取值范围是．
，，，
若，则适合；
若，当时，，，不合题意；
当，此时需且，将代入的方程得或舍去；
将代入的方程得，
且且
综上，的取值范围是或或或或 

【解析】本题考查了集合的包含关系判断及应用，交集、并集的运算，集合关系中的参数取值问题．
根据条件，得，建立方程即可求实数的值；
，等价为，然后分别讨论，建立条件关系即可求实数的取值范围．
由，得，即，讨论与，即可求实数的取值范围．