第一章 集合与常用逻辑用语（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

第一章   集合与常用逻辑用语基础提升测试

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题:“，都有”的否定是（       ）

A．，都有 B．，使得

C．，都有 D．，使得

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题，即得.

【详解】

命题：“，都有”的否定是“，使得”.

故选：B.

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知联立方程组，可得两个集合的交集．

【详解】

，，

则，

故选：B

3．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据交集的运算即可得到结果.

【详解】

因为，，

所以.

故选：A.

4．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.

【详解】

∵不等式在R上恒成立，

∴ ，解得，

又∵，∴，则不等式在R上恒成立，

∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,

故选:A.

5．设集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.

【详解】

因为，

，

，

所以.

故选：B

6．已知集合，则的真子集共有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．8个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.

【详解】

解：

，的真子集是共3个.

故选：B.

7．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（       ）

A．4∈M B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.

【详解】

根据题意，分4种情况讨论；

①、全部为负数时，则也为负数，则；

②、中有一个为负数时，则为负数，则；

③、中有两个为负数时，则为正数，则；

④、全部为正数时，则也正数，则；

则；分析选项可得符合．

故选：A.

8．是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简不等式，再判断二者间的逻辑关系

【详解】

当时，，，，

则有成立，即成立；

当时，，

即成立，但此时不成立.

综上可知，是的充分不必要条件

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．若集合，集合，则正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

根据，且可判断A选项；利用集合的包含关系可判断B选项；利用集合的运算可判断CD选项.

【详解】

对于A选项，，且，A对；

对于B选项，，所以，，，B对；

对于C选项，，C对；

对于D选项，，D对.

故选：ABCD.

10．命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（       ）

A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10

【答案】BC

【解析】

【分析】

由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.

【详解】

由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.

故选：BC

11．非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（       ）

A．为，为自然数的减法

B．为，为有理数的乘法

C．为，为实数的加法

D．已知全集，集合，为，为实数的乘法

【答案】BC

【解析】

【分析】

对每个选项逐一判断，结合实数的运算以及特殊值法判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；

对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；

对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；

对于D选项，已知全集，集合，，取，，

则，D不满足条件.

故选：BC.

12．已知全集为，，是的非空子集且，则下列关系一定正确的是（       ）

A．，且 B．，

C．，或 D．，且

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.

【详解】

全集为，，是的非空子集且，则，，的关系用韦恩图表示如图，

观察图形知，，且，A正确；

因，必有，，B正确；

若，则，此时，，即且，C不正确；

因，则不存在满足且，D不正确.

故选：AB

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知集合，，，若，则___．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据元素与集合间的关系，列方程求解即可.

【详解】

集合，，，或，，或，，．

故答案为：0.

14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．

【答案】172

【解析】

【分析】

画出韦恩图求解即可.

【详解】

，

（人．

故答案为：172

15．命题“∈R，使－（m＋3）x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意转化为，使是真命题，分和分别讨论即可得出答案.

【详解】

若，使是假命题，

则，使是真命题，

当转化，不合题意；

当，使即恒成立，即，

解得或（舍），所以，

故答案为：

16．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，yϵA是的充分不必要条件，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.

【详解】

∵表示不超过的最大整数，

∴，，即，

又yϵA是的充分不必要条件，，

∴A⊆B，故，即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合，

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出集合B，进而求解交集；（2）根据集合包含关系得到不等式组，求出的取值范围.

(1)当时，

又

；

(2)

，且，即,且

所以实数的取值范围为.

18．设命题:实数满足，命题:实数满足，其中.

(1)若，且为真，求实数的取值范围;

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)2<x<3

(2)1<a≤2

【解析】

【分析】

（1）由复合命题的真值表可得；

（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得.

(1)当a=1时，命题p:2<x≤3，命题q:1<x<3，

又p∧q为真，所以，故实数x的取值范围是2<x<3.

(2)命题p:2<x≤3，命题q:a<x<3a，要使p是q的充分不必要条件，则解得1<a≤2.

故实数a的取值范围是1<a≤2.

19．已知集合：；集合（m为常数）．

(1)定义且，当时，求；

(2)设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；

(2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可.

(1)解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．

故．由可得 即，解得，

故，

则．

(2)由，即，

解得．

因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，

解得，

故m的取值范围为．

20．设集合， .

(1)若，试求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定义即可求解.

（2）利用子集的定义及一二次方程的根的情况即可求解.

(1)由，解得或，

.

当时，得解得或

；

∴.

(2)由（1）知，，，

于是可分为以下几种情况．

当时，，此时方程有两根为，，则

，解得.

当时，又可分为两种情况．

当时，即或，

当时，此时方程有且只有一个根为，则

，解得，

当时，此时方程有且只有一个根为，则

，此时方程组无解，

当时，此时方程无实数根，则

，解得.

综上所述，实数a的取值为.

21．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．

(1)若，求出A中其他所有元素；

(2)是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素

【答案】(1)

(2)不是集合A中的元素；可以取a=，则A中的元素还有：，，

【解析】

【分析】

(1)根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素；

(2)先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素.

(1)由题意可知：，则，，，，

所以A中其他所有元素为；

(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，

所以0不是A的元素，

取，则，，，，

所以当，A中的元素是：，，，；

22．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.

(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；

(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；

(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.

【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”

(2)证明见解析

(3)7

【解析】

【分析】

（1）由“和谐集”的定义判断

（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明

（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解

(1)对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，

对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”

(2)设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，

故的奇偶性相同

①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，

②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，

若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数

综上，集合中元素个数为奇数

(3)由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，

当时，不妨设，若A为“和谐集”，

去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”

当，设，

去掉1后，，

去掉3后，，

去掉5后，，

去掉7后，，

去掉9后，，

去掉11后，，

去掉13后，，

故是“和谐集”，元素个数的最小值为7