2021学年第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试学案

这是一份2021学年第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试学案，共6页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若集合X＝{x|x>－1}，下列关系式中成立的为( )
A．0⊆X B．{0}∈X
C．∅∈X D．{0}⊆X
答案 D
解析 选项A，元素0与集合之间为∈或∉的关系，错误；选项B，集合{0}与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项C，∅与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项D，集合{0}是集合X的子集，故{0}⊆X正确．
2．已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题綈p为( )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
答案 B
解析 命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题綈p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．
3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是( )
A．1 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 易知A＝{1,2}，又A∪B＝{0,1,2}，所以集合B可以是{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．
4．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
答案 A
解析 若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.
5.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A等于( )
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
答案 C
解析 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．
6．“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0))”是“eq \f(1,xy)>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 ∵“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0))”⇒“eq \f(1,xy)>0”，“eq \f(1,xy)>0”⇒“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,y<0，))”
∴“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0))”是“eq \f(1,xy)>0”的充分不必要条件．
7．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,3))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,3)))))
答案 C
解析 若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于∀x∈R不成立，
若a≠0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－12a<0，))解得a>eq \f(1,3)，
∴命题p为真命题的a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(1,3)))))，
∴命题p为假命题的a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,3))))).
8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )
答案 C
解析 由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则( )
A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝U
C．(∁UN)∪M＝M D．(∁UM)∩N＝∁UM
答案 BCD
解析 由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}知，∁UM＝{2,6}，∁UN＝{3,7}，
M∪N＝U，(∁UN)∪M＝M，(∁UM)∩N＝∁UM.
10．设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0A．{x|－2≤x≤0} B．{x|5≤x≤7}
C．{x|－2≤x≤8} D．{x|1≤x≤5}
答案 AB
解析 (∁RT)∩S＝{x|－2≤x≤0或4≤x≤8}．
11．下列命题中，真命题是( )
A．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
B．∀x∈R,2xC．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1
D．若∃x∈R，x2＋m≤0，则m的取值范围是{m|m≤0}
答案 AD
解析 当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq \f(a,b)＝－1不成立，故C错误；若m>0，则x2＋m>0，所以若∃x∈R，x2＋m≤0，则m的取值范围是{m|m≤0}，故D正确．
12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为( )
A．2 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．3
答案 BC
解析 由x2＋x－6＝0，可得x＝2或x＝－3.
对于ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－eq \f(1,a).
由题意知p⇏q，q⇒p，则可得a≠0，此时应有－eq \f(1,a)＝2或－eq \f(1,a)＝－3，解得a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).
综上可得，a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为______________________________________．
答案 存在x∈R，使得x3<0
解析 “对任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，“x3≥0”的否定为“x3<0”．所以命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为“存在x∈R，使得x3<0”．
14．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x(1)若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
(2)若a＝1，则A∩(∁RB)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 (1){a|a>2} (2){x|1≤x≤2}
解析 (1)若A⊆B，则a>2.
(2)∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．
∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
15．已知集合A＝{x|－1答案 {m|m>1}
解析 由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，
得AB，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－1，,m＋1>2，))即m>1.
16．若x∈A，则eq \f(1,x)∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
答案 3
解析 具有伙伴关系的元素组是－1；eq \f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2)).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.
解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在量词命题；
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，
即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
18．(12分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．
求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．
解 由已知得B＝{x|x≥－3}，
(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．
(2)A∪B＝{x|x≥－4}．
(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．
19．(12分)已知集合P＝{2，x，y}，Q＝{2x,2，y2}，且P＝Q，求x，y的值．
解 ∵P＝Q，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x，,y＝y2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y2，,y＝2x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0或1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2).))
由元素的互异性可知x≠y，
故x＝0，y＝1或x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,2).
20．(12分)已知A＝{x|－10}．
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若记符号A－B＝{x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A－B”的部分用阴影涂黑，并求出A－B.
解 (1)由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}．
所以A∩B＝{x|1－1}．
(2)集合A－B如图中的阴影部分所示．
由于A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，
又A＝{x|－11}，
所以A－B＝{x|－121．(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥－2，,2a＋1≤5，,a≥0，))且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，
解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．
22．(12分)已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．
证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4).
证明 因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq \f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq \f(3,4).
再证充分性：
因为c≤eq \f(3,4)，当x＝eq \f(1,2a)时，y的最大值为eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，
所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.
即充分性成立．