第一章 集合与常用逻辑用语（知识通关详解）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）

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第一章 集合与常用逻辑用语知识详解
考点一：集合的定义及其关系
基础知识复习
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集().
题型一：集合的概念
例1：1．下列各组对象能构成集合的是（       ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【详解】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．
举一反三
1．下列选项能组成集合的是（       ）
A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人
【答案】B
解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；
非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.
故选：B．
2．下列所给的对象能组成集合的是（       ）
A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数
C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花
【答案】A.
【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.
故选：A.
题型二：元素与集合
例2：1．下列关系中，正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据常见的数集，元素与集合的关系可知，，，不正确，
故选：C
2．已知集合，则______ .
【答案】
【详解】若，符合题意；若，不符合题意；若，符合题意.故答案为：.
举一反三
1．若集合则实数的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；
当时，要使原不等式无解，应满足，解得；
综上，的取值范围是．故选：B．
2．已知集合，，则集合的元素个数为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
解：由，解得，所以．
所以，共有7个元素，故选：B．
题型三：集合中元素的特性
例3：2．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．
【答案】##
【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.故答案为：.
2．下列命题中正确的是（       ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.
举一反三
1．已知且，则由的值构成的集合是_______ .
【答案】
【详解】，；或，解得.故答案为：．
2．设集合，其中，且，若，则中的元素之和为_____.
【答案】0
【详解】因为，所以若，则集合不成立．所以．
若因为，所以，所以必有，所以．
因为，，所以或．
若，此时不成立，舍去．
若，则，成立．所以元素之和为．
故答案为：0.
题型四：集合的表示法
例3：1．设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，图中阴影部分表示的集合为．故选：A．
2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)大于且小于的所有整数组成的集合．
【解析】(1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，
因此，用描述法表示为；又方程的根是，
因此，用列举法表示为．
(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，
因此，用描述法表示为；大于且小于的整数有，
因此，用列举法表示为
举一反三
1．设集合，则用列举法表示集合为______．
【详解】∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，∴
故答案为：．
2．用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【解析】(1)解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
(2)解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
(3)解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
(4)解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
(5)解：集合，用描述法可表示为：且.


考点二：集合间的基本关系
1.子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集

（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则

集合
相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA

2.已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
题型一：子集、真子集
例1：1．已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【详解】当集合中无偶数，则，或，
当集合中只有一个偶数，则，或，或，或，
共有个，故选：D.
2．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是故选：D
举一反三
1．集合的非空真子集的个数为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
2．（多选）下列说法正确的是（       ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【答案】BC
【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
题型二：包含关系
例2：若集合满足，，，，则满足上述条件的集合的个数为（       ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】D
解：因为，，所以中最多能含有0，2两个元素，
所以，，，，共4个．
故选：D．
举一反三
1.（2022·江苏盐城·高一期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故选：B.
2．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）用适当的符号(⊆，⊇，∈，∉)填空：
（1）________；
（2）2________；
（3）N*________N；
（4）R________Q.
【详解】（1）当时，，故；
（2）当时，，故2；
（3）因为为正整数集，为自然数集，所以
（4）因为为实数集，为有理数集，所以.
故答案为：；；；.
题型三：相等关系
例3：已知集合， 若， 则 （       ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
解：因为且，所以，且，又，
所以和为方程的两个实数根，所以；
故选：D
举一反三
设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（       ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
解：因为，所以，解得或，的取值集合为，
故选：C
题型四：空集
例3：①，②，③，④，其中正确的个数为(       )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
举一反三
下列各式中关系符号运用正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C.
【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
考点三：集合的基本运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
S


CsA
A
（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中
所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。
记作： CSA ，即 CSA ={x | xS且 xA}
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U
(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
题型一：交集
例1：（2022·全国·高考真题）已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故，故选：B.
举一反三
（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以．
故选：A.
题型二：并集
例2：（2022·浙江·高考真题）设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选：D.
举一反三
（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得：.故选：B.
题型三：补集、全集
例3：（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
举一反三
（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
题型四：集合的交并补
例4：（2021·天津·高考真题）设集合，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
，.
故选：C.
举一反三
（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
题型五：Venn图
例5：（2019·全国·高考真题（理））《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
举一反三
（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．
【答案】
【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：

所以该班一共有人；
故答案为：
题型六：集合的新定义
例6：（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知且，若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题得.
故选：B
举一反三
（多选）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（       ）
A．为，为自然数的减法
B．为，为有理数的乘法
C．为，为实数的加法
D．已知全集，集合，为，为实数的乘法
【答案】BC
【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；
对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；
对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；
对于D选项，已知全集，集合，，取，，
则，D不满足条件.
故选：BC.

考点四：充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；
若，则是的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若，则是充分条件，是的必要条件；
②若，但 ，则是充分而不必要条件;
③若 ，但，则是必要而不充分条件;
④若且，则是的充要条件；
⑤若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：
①_x0001_ ,则是充分条件； ②若,则是必要条件；
③若A B，则是充分而不必要条件;
④若B A，则是必要而不充分条件;
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
题型一：充分不必要条件
例1：请写出不等式的一个充分不必要条件___________．
【答案】 (答案不唯一)
【详解】因为能推出，但是不能推出，
所以是不等式的一个充分不必要条件，
故答案为：（答案不唯一）
举一反三
已知集合，B={x|-1 【答案】
求出.
【详解】集合.
因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以Ü B.
因为B={x|-1 故答案为：.
题型二：必要不充分条件
例2：已知“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简不等式，再根据“”是“”的必要不充分条件求解.
【详解】
不等式等价于，即，解得．
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，即的取值范围为．
故答案为：
举一反三
若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
【答案】
解：由，得或，即不等式的解集为或，
由，得，
若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，
若，则不等式的解集为或，
若，不等式的解集为或，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
则当时，不满足条件．
当时则满足，即，得，
当时，则满足，得，得，
综上实数的取值范围.
故答案为：.
题型三：充要条件
例3：“，”的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】“，”等价于 ，
即，
故“，”的充要条件是，
故选：B
举一反三
“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于任意的实数，不等式恒成立，
，
由，得，由，得，
当时，；
当时，，；
当时，,
综上，，.
，
“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是，.
故选：.

题型四：既不充分也不必要条件
例4：设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
故由可推出，由推不出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
举一反三
若a，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，当时，，当时，；
又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D

考点五：全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题．
②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题.

题型一：全称量词与全称命题
例1：已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【详解】若命题“”是假命题，则命题的否定“，方程”是真命题，所以．
所以实数a的取值范围是．
故答案为:
举一反三
命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
题型二：存在量词与特称命题
例2：命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为命题“，使得”为假命题，则
命题“，使得”为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
举一反三
已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.
【答案】.
【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.
故答案为：.
题型三：含有一个量词命题的否定
例3：设命题：，，则为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，所以为“，”.
故选：A.
举一反三
已知命题p：，使得，则为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
解：根据命题的否定可知，为，．
故选：A．