初中数学华师大版七年级下册2 轴对称的再认识教案及反思

  轴对称的再认识

一、              观图激趣，设疑导入

1、  课件演示

2、  （1）让学生观图后提问：以上图形有什么共同特征？

（2）师生共同回顾：轴对图形的定义和性质

（3）课件演示：   定义：一个图形沿某一条直线对折

                        对折的两部分，完全重合

                                对称轴是一条直线

                         性质：对应线段相等，对应角相等

3、  提出问题，导入新课：

线段和角分别是轴对称图形吗？我们能否加以验证呢？

二、              巧设问题，探究新知

问题一：线段是轴对称图形吗？我们能否加以验证呢？

（让学生思考后问答，怎样验证？老师提醒：对折可借助于白纸）

1、操作：让学生在纸上画出线段AB及它的中点O，再过O点画出与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，观察线段OA与OB是否重合；

2、用课件演示（对折演示）

                           C

                  A                  B

                           D

3、根椐轴对称图形定义，可以得到：线段AB是轴对称图形，且直线CD是它的对称轴。

4、直线CD垂直于线段AB且平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线或中垂线；（垂直平分线、中垂线加着重线）（强调线段的垂直平分线是一条直线而不是线段或射线）

5、利用学生刚才画出的图形，探究这条线段的垂直平分线有什么性质呢？

   （下面我们一起来观察），课件演示图形

                                C

                                E

                      A                   B

                                D

（1）       能在图中指出一对相等的线段吗？

（学生回答：OA=OB，课件演示：OA、OB用其它色闪动）

（2）       除OA=OB外，还能够在图中作出几对相等线段吗？让学生动手试验；

（学生回答：有无数对相等的线段。课件演示：E取不同的位置，用不同的色彩）

（3）       通过验证，我们能够得到什么结论吗？

（让学生总结回答出线段垂直平分线的性质）

板书：（线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等）

（强调点是指垂直平分线上的任意一点，任意一点加着重线）

（注意：线段的垂直平分线的性质，为我们导求线段相等提供一条思路）

例1、       如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D；

（1）       图中有哪些相等线段？

（2）       若BC=10，BE=6，求△BCE的周长 ；

 E

                    B    D      C

          （分析：△BCE的三边中已知BC、BE的长，只须求出EC的长即可，求△BCE 

                  的周长，而由已知条件直线ED垂直平分BC可得到EC=CB=6）

           解答：（1）相等线段有BD=CD 、BE=CE

                （2）∵DE垂直平分BC

∴EC=EB=6（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

∴△BCE的周长=BC+CE+EB=10+6+6=22

问题二、角是轴对称图形吗？能否模仿上述验证方法加以验证呢？

         （老师可提醒：折叠）

         （让学生模仿上述验证线段的轴对称性的方法，步骤，小组合作探究）

        操作：（1）在纸上画一只角AOB，对折后，使角两边重合，然后用直尺画出     折痕OM，看看射线OM与∠AOB是什么关系？

  （学生回答：角平分线。课件演示对折）

  A

  M

                                                 B

  O

             （2）从上面的操作得出，角是一个轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线；（演示：强调特出直线）

             （3）那么一只角的角平分线又有什么特征呢？

                   （让我们一起来看看吧，可在原来的角上操作）

（4）          （4）射线OM上任取一点P，过点P分别作∠AOB两边的垂线段，垂足分别为点D、点C，线段PC和PD相等吗？

                                         A

                                    D

   P

 B

                           O           C       

（让学生自己想办法验证，学生回答用折叠方法验证出是相等的）

（课件演示：折叠）

（5）       除PC=PD外，还能像PD=PC一样作出几对相等的线段

（学生回答；无数，点P可以取在不同有位置。学生操作，课件演示）

（6）       通过验证，我们得到一个什么结论？（老师提醒：参照垂直平分线的性质

提示：从点与点的距离引入到点与线的距离）

（学生回答：角平分线上的任意点到角两边的距离相等）

（演示：相等线段闪动，强调点是指任意一点，必须要有两个垂直的条件）

例2、       如图，直角三角形ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，AC=9，AD=3，求DE的长。

（分析：结合BD平分∠ABC的条件，利用角平分线的性质可得两条垂线段

——DE与DC相等，从而将求DE的问题转化成求DC的问题，而DC=AC-AD，

AC与AD已知，所以问题得以解决）

（解答：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90º（强调两个垂直）

                   ∴DE=DC （角平分线上的点到角两边的距离相等

∵AC=9，AD=6

∴DC=AC-AD=3

∴DE=3

三、课堂练习：

A层：1、如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB=5，那么AC=

2、如图：如果M点在∠ANB和角平分线上，那么AM=

        A  N

  A

                 图（1） B

   B     D    C                              M

B层：1、如图若PD、PE分别垂直平分AB与BC，则PA与PC相等吗？

       （分析：PD是AB的中垂线，所以AP=BP，同理PC=PB，所以可得PA=PC）

    2、用直尺和量角器在图中的直线MN上找一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等；（分析：要使到OA和OB的距离相等的点，一定在AOB的角平分线上），变式：找一点Q，使点Q到线段MN两端的距离相等，且到射线OA和OB              的距离也相等）   

                                     A

          P  M

                        C

 E      图（1）                                       N

                                                         O                B

 A    D      B

        3、如图：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60与38，求AB和BC的长

                                A

                                     D

                            B        C

           （分析：由已知AC是AB的垂直平分线，可得到垂直平分线的性质，连BD，则有AD=BD，所以△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=38①，

            又因为△ABC的周长=AB+AC+BC=60②，由①—②，可求出AB的长，根据

            AB=AC，把AB代入①就可求出BC的值；）

            （反思：有线段垂直平分线时，常把垂直平分线上的一点与线段两端点连结起来）

三、课堂小结：过本节课的学习，你学到了哪些知识？请谈一谈体会和收获。

1、线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线。

2、线段的垂直平分线的性质。

3、角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

4、角平分线的性质。

方法归纳：垂直平分线的性质和角平分线的性质是证明两条线段相等的重要方法。

  五、闯关大比拼

第一关：如图，两个村庄A、B位于公路CD同侧，现要在CD上找一点建一个停靠站，使它到A、B两村距离相等。  

                                  ·A

                                             ·B

                             C                D

第二关：如图在△ABC中用刻度尺和量角器画出线段AB、BC、CA的垂直平分线，看看三条垂直平分线的位置有什么关系。

                                  A

                           B C

（变式：已知某山区有三个村庄A、B、C，现要建一所“希望小学”使三个村庄到学校的距离相等，请问应选在什么位置建学校？）

                                        ·A

                                ·B              ·C     

   第三关：如图某中学因地制宜，在一个三角形山路上举行长跑比赛，已知绕三角形ABC一圈是4000米，A、C两村距离是1600米，比赛规定：高中组从A村出发，经过B村、C村，回到A村，赛程为4000米；初中组也由A村出发，在经过B村往C村的路上，到达一棵老槐树D处后，直接返回A村，又知老槐树D恰好位于A、C两村所连线段的垂直平分线上，问：初中组比赛路程是多少米？

（分析：把实际问题抽象成数学模型，如图，已知△ABC的周长为4000米，AC=1600米，AC的垂直平分线交BC于D点，求ABD的周长）

（解答：由线段垂直平分线的性质 可知，DA=DC，所以AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=（AB+BC+CA）—CA=4000—1600=2400（米）

（反思：由本例解答可以看出，利用线段垂直平分线的性质，常常可以将一条线段变为另一条线段，从而改变解决问题的途径，使问题由难变易，本例解答中，就是用DC代替DA，从而使问题迎刃而解）

  B

                                              D  

C                     A

六、布置作业

     （作业本）