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    数学必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品课后练习题

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    这是一份数学必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品课后练习题,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(二十八) 对数函数的图象与性质的应用


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.若函数f(x)=lga x(0

    A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),9) C.eq \r(3) D.eq \f(1,3)


    B [∵a∈(0,1),∴f(x)max=lga a=1,f(x)min=lga 3a,


    由题知lga 3a=eq \f(1,3),∴a=eq \f(1,3\r(3))=eq \f(\r(3),9).]


    2.函数f(x)=lga |x|+1(0







    A [将g(x)=lga x的图象不动,并将之关于y轴对称到y轴左侧,再上移1个单位,即得f(x)的图象.]


    3.函数f(x)=的值域为( )


    A.(-∞,0) B.(-∞,2)


    C.(-∞,2] D.(2,+∞)


    B [x≥1时,f(x)≤0,


    x<1时,0

    4.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-2x-1,x≤1,,lga x,x>1,))若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )


    A.(1,2) B.(2,3)


    C.(2,3] D.(2,+∞)


    C [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-2>0,,a>1,,a-2×1-1≤lga 1,))


    解得2

    5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是单调递增,设a=f(lg47),b=f(lg23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是( )


    A.c

    C.b

    C [偶函数f(x)在(-∞,0]上是单调递增,则在(0,+∞)上是单调递减.又∵lg47=lg2eq \r(7),0<0.20.6<1

    二、填空题


    6.函数f(x)=lg (4x-2x+1+11)的最小值是 .


    1 [4x-2x+1+11=(2x)2-2·2x+11=(2x-1)2+10≥10,


    ∴f(x)≥lg 10=1.]


    7.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=lg3 x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 .


    x2

    法二:由题知f(x1)=a=ln x1,∴x1=ea,同理x2=10a,x3=3a,结合指数函数y=ex,y=10x,y=3x的图象可知,x2

    8.已知f(x)是定义在[-2,2]上的单调递增函数,且f(x)的最大值为1,则满足f(lg2 x)<1的解集为 .


    eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4),4)) [由题知-2≤lg2 x<2,∴lg2 2-2≤lg2 x

    三、解答题


    9.(1)若lga eq \f(3,4)<1(a>0,a≠1),求实数a的取值范围;


    (2)已知f(x)的定义域为[0,1],求函数y=f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3-x))的定义域.


    [解] (1)lga eq \f(3,4)<1,即lga eq \f(3,4)

    当a>1时,函数y=lga x在(0,+∞)上是单调增函数,


    由lga eq \f(3,4)eq \f(3,4),故a>1.


    当0

    综上,实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(01)))).


    (2)由0≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3-x)≤1得,


    lgeq \s\d7(eq \f(1,2))1≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3-x)≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) eq \f(1,2),


    所以eq \f(1,2)≤3-x≤1,


    解得2≤x≤eq \f(5,2).


    所以函数y=f(lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) (3-x))的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2))).


    10.设函数y=f(x)满足lg y=lg(3x)+lg(3-x).


    (1)求f(x)的表达式;


    (2)求f(x)的值域;


    (3)讨论f(x)的单调性.(不用证明)


    [解] (1)∵lg y=lg(3x)+lg(3-x),


    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,,3-x>0,,y>0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<x<3,,y>0.))


    又∵lg y=lg[3x(3-x)],


    ∴y=3x(3-x)=-3x2+9x,


    即f(x)=-3x2+9x(0<x<3).


    (2)∵-3x2+9x=-3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(27,4)且0<x<3,


    ∴0<-3x2+9x≤eq \f(27,4),即函数f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(27,4))).


    (3)∵f(x)=-3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))eq \s\up12(2)+eq \f(27,4),且0<x<3,


    ∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(3,2)))上单调递增,在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),3))上单调递减.





    1.若函数f(x)=lga (x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是下列中的( )








    D [由f(x)的图象可知0

    2.(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数,又是 (0,+∞)上的增函数的是( )


    A.y=eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))) B.y=xeq \s\up12(eq \f(2,3))


    C.y=|ln x| D.y=eeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))


    BD [函数y=eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是定义域上的偶函数,当x∈(0,+∞)时, y=eq \f(1,x)为减函数,故不合题意;函数y=xeq \s\up12(eq \f(2,3))=eq \r(3,x2),定义域为R,是定义域上的偶函数, 当x∈(0,+∞)时, y=xeq \s\up12(eq \f(2,3))为增函数;函数y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ln x))定义域为(0,+∞)不关于原点对称,不是定义域上的偶函数,不合题意;函数y=eeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))定义域为R,是定义域上的偶函数, 当x∈(0,+∞)时, y=ex为增函数. 应选BD.]


    3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(lg2 a)+f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) a)≤2f(1),则a的取值范围是 .


    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),2)) [∵f(lg2a)+f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) a)=f(lg2 a)+f(-lg2a)=2f(lg2 a)≤2f(1),


    ∴f(lg2 a)≤f(1),由f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,


    ∴-1≤lg2 a≤1,即lg2 eq \f(1,2)≤lg2 a≤lg2 2,


    ∴eq \f(1,2)≤a≤2.]


    4.已知函数f(x)=lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1-ax,x-1)的图象关于原点对称,其中a为常数.


    (1)求a的值;


    (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x-1)<m恒成立,求实数m的取值范围.


    [解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称,


    ∴函数f(x)为奇函数,


    ∴f(-x)=-f(x),


    即lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1+ax,-x-1)=-lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1-ax,x-1)=lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(x-1,1-ax),


    解得a=-1或a=1(舍).


    所以a=-1.


    (2)f(x)+lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x-1)=lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1+x,x-1)+lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x-1)


    =lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (1+x),当x>1时,lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (1+x)<-1.


    ∵当x∈(1,+∞)时,f(x)+lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x-1)<m恒成立,


    ∴m≥-1.


    即实数m的取值范围为[-1,+∞).


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