2021学年第二章 相交线与平行线综合与测试巩固练习

 相交线与平行线（优生集训）

一、综合题

1．对于复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想．

（1）如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了　     　对同旁内角．

（2）如图2．平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有　     　对同旁内角．

（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成　     　对同旁内角

2．如图，直线CD∥EF，点A，EF上（自左向右分别为点C，A，D和点E，B，F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．

（1）如图1，直接写出下列答案：

①∠BAD的度数是 　     　；

②当旋转时间x＝　     　秒时，射线BN过点A；

（2）如图2，若AM∥BN，求此时对应的旋转时间x的值．

（3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P．

①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求旋转时间x的值；

②若旋转时间x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）.

3．已知 ， ． 

（1）如图1，若 ， 的平分线与 的平分线交于点 ，求 的大小，说明你的理由； 

（2）如图2，若 的平分线 与 的外角平分线 互相平行，求 与 的关系； 

4．     

（1）同题情境：如图1， ， ， ．求 的度数． 

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过 作 ， ．

．

． ．

…………

请你帮助小明完成剩余的解答．

（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图 ， ，点 在射线 上运动， ， ．

①当点 在 、 两点之间时， ， ， 之间有何数量关系？请说明理由．

②当点 在 、 两点外侧时（点 与点 不重合），请直接写出 ， ， 之间的数量关系．

5．              

（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝　     　．

（2）问题迁移：如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

6．如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.

（1）探究猜想：

①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，则∠AED的度数为      ▲      ；

②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，则∠AED的度数为      ▲      ；

③猜想图a中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由．

（2）拓展应用：如图2，线段EF与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②分别是被线段EF隔开的两个区域(不含边界），点P是位于以上两个区域内的点，连接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系(不要求写出过程)．

7．25．如图，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分线．

（1）若CM平分∠BCD，求∠MCN的度数；

（2）若CM在∠BCD的内部，且CM⊥CN于C，求证：CM平分∠BCD；

（3）在(2)的条件下，连结BM，BN，且BM⊥BN，∠MBN绕着B点旋转，∠BMC＋∠BNC是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

8．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且 ，其中 ， ， ，点E、F均落在直线MN上． 

（1）如图1，当点C与点E重合时，求证： ；聪明的小丽过点C作 ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． 

（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证： ； 

（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点 ，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若 ，则 　                                    　．（用含 的代数式表示） 

9．阅读第（1）题解答过程填理由，并解答第（2）题

（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB，CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．

解：过点P作PM∥AB

∵AB∥CD（已知）

∴PM∥CD　                                                         　，

∴∠B+∠1＝180°，　                         　．

∴∠C+∠2＝180°

∵∠BPC＝∠1+∠2

∴∠B+∠C+∠BPC＝360°

（2）我们生活中经常接触小刀，如图2小刀刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变，如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

10．已知：如图1， ， ． 

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；

（2）如图2， ， ，请判断 与 的数量关系，并证明． 

11．在四边形 中， ， ，点 是射线 上一个动点（不与 ， 重合），过点 作 ，交直线 于点 ． 

（1）如图，当点 在线段 上时，求证： ． 

（2）若点 在线段 的延长线上．用等式表示 与 之间的数量关系是　                                                                            　． 

12．已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且在点B的左侧．

（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　     　；

（2）射线AF为∠CAD的角平分线．

① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；

② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．

13．综合与探究

【问题情境】

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．

（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

（2）【问题迁移】

如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．

①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

14．如图， ， .点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 . 

（1）求 的度数. 

（2）求 的度数. 

（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 

15．【问题发现】如图①，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．

（1）请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法），

∴EF∥CD（　                         　），

∴∠C＝∠CEF（　   　                   ），

∵EF∥AB（作图），

∴∠B＝   ▲   ，（　                           　），

∴∠B+∠C＝_   ▲   （等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC．

（2）【拓展探究】如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是　                    　

（3）【解决问题】如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．

16．一个小区的路面规划示意图如图所示，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°

（1）判断∠1与∠BDC的数量关系，并说明理由；

（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，试求∠FAB的度数

17．先阅读材料，再解决问题．

在同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD．

又因为∠BOD是△POD的外角，则有∠BOD=∠BPD+∠D，

所以∠BPD=∠B-∠D

（1）将点P移到AB，CD内部，其余条件不变，如图2，以上结论是否仍成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出∠BPD，∠B，∠D之间的数量关系，并证明你的结论

（2）在图2中，将直线AB绕点B沿逆时针方向旋转一定角度后交直线CD于点Q，如图3，请借助(1)中的图形与结论，找出图3中∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由

18．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．

操作发现

（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；

（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；

结论应用

（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．

19．综合与实践

阅读下面内容，并解答问题

已知：如图1，，．求证：．

老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是　                         　．

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的、与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．

请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想图①中、与之间的数量关系并加以证明；

②利用图③探究，在拖动点至的上方或的下方时，、与之间还存在其它数量关系，请直接写出、与之间的数量关系：  ▲  （写出一种即可）．

（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，垂直地面于，平行于地面，若，则度数为　     　．

20．已知，直线，E为、间的一点，连接、．

（1）如图（1），若，，则　     　°．

（2）如图（2），若，，则　              　．

（3）如图（3），若，，则，与之间有何等量关系，并说明理由．

21．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．

（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；

（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；

（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 的值． 

22．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥BC于点C．

（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是　                   　．

（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN．请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时，直接写出∠ABC的度数．

（4）如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，请补充图形并直接写出∠ABC的度数．

23．综合与探究：

将三角形纸板如图放置，点P是边AB边上一点，DF∥CE，∠PCE＝∠α，∠PDF＝∠β，

（1）探究：如果α＝30°，β＝40°，则∠DPC＝　     　 ．

（2）猜想：当点P在E、F两点之间运动时，∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；

（3）拓展：如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），上述（2）中的结论是否还成立？并说明理由．

24．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；

（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．

25．如图，已知AB∥CD，∠ACD的平分线与AB交于点E．

（1）求证：∠ACE＝∠AEC；

（2）若点F为射线CE上一点．

①连接FA，探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系，并证明你的结论；

②点G为线段CE上一点且∠CAG＝3∠EAG，当∠GAF+∠AEC＝90°时，求 的值．

答案解析部分

【解析】【解答】解：（1）如图，

如图1．直线l1、l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成的同旁内角有∠DAB和∠ABE；∠CAB和∠ABF，一共2对；
故答案为：2.
（2）如图，

图形中的同旁内角有：∠DAB和∠ABG；∠CAB和∠CBA；∠ACB和∠BAC；∠AHC和∠ACM；∠FBC和∠BCE；∠ABC和∠ACB；一共有6对
故答案为：6.
(3)平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×(4-1) ×(4- 2)=24(对)同旁内角．
故答案为：24. 

【分析】（1）两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；观察图1，可得到这个基本图形中，同旁内角的对数.
（2）观察图2，可知直线AB和BC被直线AC所截；直线BC，AC被直线AB所截；直线AC，AB被直线BC所截；由此可得图中同旁内角的对数.
（3）利用（1）（2）的规律可知：平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，可得到形成的同旁内角的对数.

【解析】【解答】解：（1）①∵CD∥EF，
∴∠ABF+∠BAD=180°，
∵∠ABF=60°，
∴∠BAD=120°；
②∵∠ABF=60°，
∴∠ABE=120°，
∴120÷5=24（秒），
故答案为：120°，24；
【分析】（1）①根据平行线的性质（同旁内角互补）即可求解；
②先根据邻补角的的性质求出∠ABE的度数，进而根据题意即可求解；
（2）根据平行线的性质即可得到∠BAM=∠ABN，再结合题意得到∠ABN=120°-5x，∠BAM=x，进而列出方程，解出x即可求解；
（3）①根据题意得到∠ABN=5x-120°，再运用三角形内角和定理列出方程即可求解；
②观察图形直接求解即可.

【解析】【分析】（1）求出∠ABG=∠DCG，再利用角平分线，可得出∠DCE=∠EBD，结合三角形的内角和，从而求出 的大小；
（2）作∠ACD的平分线，交BE于P，由∠A+∠ABG=∠BPC+∠PCG，∠BPH+∠PBH=∠D+∠DCH，得出α+∠ABG=90°+∠PCG，①。   90°+∠PBH=β+∠DCH，②  因为BE平分∠ABD，CH平分∠ACD，得出∠ABG=∠PBH，∠DCH=∠PCG，两式相减即可。

【解析】【分析】 （1）过 作 ，可得PE∥CD，∠APE=180°-∠PAB=50°，从而可求∠CPE=180°-∠PCD=60°，利用∠APC=∠APE+∠CPE即可求出结论；
（2）①，理由：如图，过点 作 ，交 于点 ，可得PE∥BC，利用平行线的性质可得， ， 从而得出 ；
② 分两种情况：①当点 在点 左侧时，②当点 在点 右侧时，根据平行线的判定与性质 分别解答即可.   

【解析】【解答】解：问题情境：过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

故答案为110°；

【分析】（1）先求出PE∥AB∥CD，再求出∠APE=50°，∠CPE=60°，最后计算求解即可；
（2）先求出 AD∥PE∥BC， 再求出 ∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， 最后证明求解即可；
（3）分类讨论，利用图形求解即可。

【解析】【分析】（1）①根据 ∠EAB＝22°，∠EDC＝61°， 计算求解即可；
②根据 ∠EAB＝32°，∠EDC＝45°， 计算求解即可；
③先求出 AB∥EF∥CD， 再求出 ∠2＝∠EDC，∠1＝∠EAB， 最后证明求解即可；
（2）分类讨论，求解即可。

【解析】【分析】 （1）由角平分线的定义得出BCN＝ ∠BCE，∠BCM＝ ∠BCD， 由于∠MCN＝∠BCN＋∠BCM＝ ∠BCE＋ ∠BCD＝ (∠BCE＋∠BCD) ，利用补角的定义即可得出结论；
（2） 根据垂直的定义得出∠MCN＝90°，即∠BCN＋∠BCM＝90°， 利用等式的性质得出2∠BCN＋2∠BCM＝180°， 结合角平分线的定义得出∠BCD＝2∠BCM，据此即得结论；
（3）∠BMC＋∠BNC＝180°，理由：延长AB至F，过N，M分别作NG∥AB，MH∥AB，则有NG∥AB∥MH∥CD， 利用平行线的性质得出∠BNG＝∠ABN，∠CNG＝∠ECN，∠BMH＝∠FBM，∠CMH＝∠DCM，由垂直的定义得出∠MBN＝∠MCN＝90°， 从而求出 ∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°， 利用角平分线的定义即得结论.   

【解析】【解答】解：（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．

∵ ，

∴ ，

由（2）得，DE∥AC，

∴∠DEF=∠ECA= ，

∵ ，

∴∠ACB= ，

∴ ，

∴∠A=180°- = ．

故答案为为： ．

【分析】（1）过点C作 ， ，再根据， ，得到 ，进而得出 ，最后证明 ；
（2）先证明 ，再证明 ，得到，问题得证；
（3）根据题意得到 ，由（2）得，∠DEF=∠ECA= ，进而得到 ，根据三角形内角和即可求解。

【解析】【解答】解：（1）过点P作PM∥AB

∵AB∥CD（已知）

∴PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），

∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠BPC＝∠1+∠2，

∴∠B+∠C+∠BPC＝360°．

故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补．

【分析】（1）利用平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得；
（2）先过E作EF//AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出答案。

【解析】【分析】（1）求出 ∠AMN+∠2=180°， 根据平行线的判定推出 AB∥CD 即可；根据平行线性质和已知求出 ∠AEF=∠EF1L， 根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出 ∠RQM=∠QMB，RQ∥CD， 推出 ∠MQN=∠QMB+∠QND， 同理， ∠MQN=∠QMB+∠QND， 同理，∠MPN=∠PMB+∠PND，代入求出即可。

【解析】【分析】 （1）由 ∠BAD=∠BCD，AB//DC， 可得到 AD∥BC， 再根据 EF//AD， 得出 EF∥BC， 最后根据“两直线平行，同位角相等”得出结论；
（2）根据题意画出图形，与（1）的证明方法一样，证出 EF∥BC ，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论。   

【解析】【解答】解：（1）设在 上有一点N在点A的右侧，如图所示：

∵

∴ ，

∴

∴

（2）②当点D在点B右侧时，如图：

由①得：

又∵

∴

∵

∴

当点D在点B左侧，E在B右侧时，如图：

∵ 为 的角平分线

∴

∵

∴ ，

∵

∴

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

当点D和F在点B左侧时，设在 上有一点G在点B的右侧如图：

此时仍有 ，

∴

∴

综合所述： 或

【分析】（1）根据平行线的性质得出 ， ，从而可得∠ABM=

；
（2）①设 ， ，得出，利用角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而求出，继而得出 ②分三种情况：当点D在点B右侧时；当点D在点B左侧，E在B右侧时；当点D和F在点B左侧时，据此分别解答即可.

【解析】【解答】解：如图，过点P作PG∥EF，

∴∠PAF+∠APG=180°，
∵ EF∥MN，
∴PG∥MN，
∴∠PBN+∠BPG=180°，
∴∠PAF+∠APG+∠PBN+∠BPG=360°，
∴ ∠PAF+∠PBN+∠APB=360° ；
（2）②如备用图1，当点P在BA的延长线上时，过点P作PE∥AD，交ON于点E，
∴∠DPE=，
∵ AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠CPE=，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=，
如备用图2，当点P在BO之间时，过点P作PE∥AD，交ON于点E，
∴∠DPE=，
∵ AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠CPE=，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=.

【分析】（1）过点P作PG∥EF，根据平行公理得出PG∥MN，根据平行线的性质得出∠PAF+∠APG=180°，∠PBN+∠BPG=180°，即可得出∠PAF+∠PBN+∠APB=360° ；

（2） ①过P作PF∥AD交CD于E，根据平行公理得出PG∥BC，根据平行线的性质得出，，利用∠CPD=∠DPE+∠CPE，即可得出∠CPD=；
②分两种情况讨论：当点P在BA的延长线上时，当点P在BO之间时，分别过点P作PE∥AD，交ON于点E，根据平行线的性质得出∠DPE=，∠CPE=，再利用∠CPD、∠DPE、∠CPE之间的关系，即可得出答案.

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABN=180°，即可求出∠ABN的度数；
（2）根据角平分线的定义得出∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN，再利用∠CBD=∠CBP+∠PBD=∠ABN，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，根据角平分线的定义得出∠PBN=2∠DBN，进而得出∠APB=2∠DBN.

【解析】【解答】解：【拓展探究】： 过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD，

∴∠C+∠CEF=180°，

∵EF∥AB，

∴∠B+∠BEF=180°，

∴∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，

∴∠B+∠C+∠BEC=360°,
故答案为：∠B+∠C+∠BEC=360°.
【分析】 【问题发现】 根据平行公理、平行线的性质进行解答即可；
【拓展探究】 过点E作EF∥AB， 根据平行公理得出EF∥CD，根据平行线的性质得∠C+∠CEF=180°，

∠B+∠BEF=180°，从而得出∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°，即可得出答案；
【解决问题】 作EF∥AB， 根据平行公理得出EF∥CD，根据平行线的性质得∠C+∠CEF=180°， ∠BAE=∠AEF， 从而求出 ∠CEF=60°， ∠AEF=20°， 即可求出∠BAE=20°.

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可得到AD∥CE，继而由平行线的性质得到∠ADC+∠3=180°，即可得到AB∥CD，得到答案即可；

（2）根据平行线的性质即可得到∠BDC=∠1=70°，继而由DA平分∠BDC得到∠ADC的度数，求出∠2的度数，由∠FAB=∠FAD-∠2得到结论即可。

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，计算得到答案即可；

（2）根据题意，由等量代换求出答案即可。

【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DBC＝∠BDN，可求出∠BDN=∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，根据∠1=90°-∠BDN即可求解；
（2）过B点作BG∥直线m， 可得 BG∥l∥m，利用平行线的性质可得∠3＝DBG，∠LAB＝∠ABG， 从而求出∠3+∠LAB＝∠DBA＝75°， 由余角的定义可得∠LAB＝90°﹣∠2， 继而得解；
（3） ∠2＝3∠3． 理由：由角平分线的定义及平行线的性质可得∠BCN＝∠CAN＝22.5°=∠2， 利用（2）中结论求出∠3的度数，继而得解.
 

【解析】【解答】解：（1）证明：∵

∴（两直线平行，同旁内角互补）

∵

∴（两直线平行，同旁内角互补）

故答案为：两直线平行，同旁内角互补．

（2）②当拖动点  至  的上方时，如下图，过点D作 

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴；

当拖动点  至  的下方时，如下图，过点D作 

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴；

故答案为：  或  （写出一种即可）．

（3） 

过点B作 

∵， 

∴

∴

∵

∴

∵， 

∴

∴，

故答案为：  ．

 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答即可；
（2） ①证明：如下图，过D作，可得CD∥EF，利用平行线的性质可得， ，从而得出 ；
②分两种情况：当拖动点至的上方时，如图，过点D作当拖动点至的下方时，如图，过点D作，根据平行线的判定与性质分别求解即可；
（3）过点B作 ，可得，利用平行线的性质可求出∠CBG=30°，，根据即可求解.

【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF．

（1）如图（1）∵∠A=20°，∠C=40°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，

∴∠AEC=∠1+∠2=60°；

故答案为：60°；

（2）如图（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，

∵∠A=x°，∠C=y°，

∴∠1+∠2+x°+y°=360°，

∴∠AEC=360°-x°-y°；

故答案为：360°-x°-y°；

 【分析】如图，过点E作EF∥AB，可得AB∥CD∥EF．
（1）由平行线的性质可得∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，从而求出∠AEC=∠1+∠2=60°；
（2）由平行线的性质可得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，两等式相加可得∠1+∠2+x°+y°=∠AEC+x°+y°=360°，据此即得结论；
（3）∠AEC=180°-α+β．理由 ：由平行线的性质可得∠2=∠C=β，∠1=180°-∠A=180°-α，根据 ∠AEC=∠1+∠2即可求解.

 

【解析】【分析】（1）根据平行线爱你的性质、余角、补角的性质即可求出；
（2）根据平行线爱你的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可。

【解析】【解答】解：（1）如图1中，

∵AC⊥CD，

∴∠C＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°，

∵MN∥PQ，

∴∠PDB＝∠ABC，

∴∠CAB+∠PDC＝180°．

故答案为：∠CAB+∠PDC＝180°．

【分析】（1）利用平行线的性质和条件三角形的内角和定理求解即可；
（2）结论：∠ABC＝∠PDB，构造平行线，利用平行线的性质求解即可；
（3）设∠ABC＝x，则∠AEB＝2x，根据∠CBE+∠AEB＝90°，构建方程组求解即可；
（4）设BE交PQ于J．设∠BEN＝x，则∠BDP＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可。

【解析】【解答】解：（1）如图1，过P作PH∥DF，

∴∠DPH＝∠PDF＝40°，

∵DF∥CE，PH∥DF，

∴PH∥CE，

∴∠CPH＝∠PCE＝30°，

∴∠DPC＝30°+40°＝70°，

故答案为：70°；

【分析】（1）过P作PH∥DF，根据平行线性质得到∠DPH＝∠PDF＝40°，根据平行公理得到PH∥CE，得到∠CPH＝∠PCE＝30°，结合图形计算，得出答案；
（2）根据（1）的做法解答即可；
（3）分点P在EF的延长线上时，过P作PH∥DF两种情况分析即可。

【解析】【分析】（1）想证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3，即可；
（2）如图2，∠PEQ+2∠PFQ＝360°，作EH∥AB，利用平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，构建方程即可解决问题。

【解析】【分析】（1）先求出 ∠AEC＝∠DCE， 再求出 ∠ACE＝∠DCE， 最后求解即可；
（2）①分类讨论，结合图形求解即可；
②先求出 ∠CAB＝4x， 再求出 ∠GAF＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， 最后计算求解即可。