人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式学案设计

第19课  一次函数与一元一次不等式

知识点01  一次函数与一元一次不等式

　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

注意：

（1）求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线在      部分的所有点的横坐标的范围.

（2）常见的解集：

无论求还是，都应首先求出一次函数与  ，再根据题目要求，确定x的取值范围：

①y＞0时，取         图像自变量的范围；

②y＜0时，取         图像自变量的范围；

知识点02  一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的          .

注意：

（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的         ；

例如：一次函数，若时，x的取值范围是，则方程的解为    ，且一次函数过点        ；

（2）一次函数，若当 时，y的取值范围是，则可得出一次函数过点                    ；

知识点03  如何确定两个不等式的大小关系

（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的         对应的点的         ．

两个一次函数比较大小，求自变量x的取值范围，首先要求出         ，再根据图像判断。

考法01   y＞0或y＞m类型

【典例1】一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b＜0时，x的取值范围是(　　)

A．x＞0 B．x＜0

C．x＞2 D．x＜2

【即学即练】已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是______．

【典例2】如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4

【即学即练】若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为(       )

A． B． C． D．

【即学即练】一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x________时，kx＋b＞2.

【即学即练】如果一次函数的图象与轴交点坐标为，如图所示．则下列说法：①随的增大而减小；②关于的方程的解为；③的解是；④．其中正确的说法有_____．（只填你认为正确说法的序号）

考法02  两一次函数比较大小

【典例3】如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．

【即学即练】一次函数与的图象如图，则的解集是__．

【即学即练】如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点．当时，_____（填“＞”或“＜”）

考法03  根据x和y的取值范围确定解析式

【典例4】已知一次函数y=kx+b，当自变量取值范围是−4<x<4时，相应的函数值的范围是−2<y<6，则这个函数的解析式为_________．

【即学即练】对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为_____．

考法04  实际问题

【典例5】某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象 (两条射线)如图所示，当每月行驶的路程等于________时，租两家的费用相同．

【即学即练】某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．

(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；

(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．

考法05  综合应用

【典例6】如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)．

(1)求直线y＝kx＋b的解析式；

(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积；

(3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．

【即学即练】如图，直线y=kx+b经过点A（-5，0），B（-1，4）

（1）求直线AB的表达式；

（2）求直线CE：y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积；

（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞-2x-4的解集．

【即学即练】如图：已知直线经过点，．

（1）求直线的解析式；

（2）若直线与直线相交于点，求点的坐标；

（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

题组A  基础过关练

1．如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2

2．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【     】

A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1

3．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1

4．如图，函数 y1＝﹣2x 与 y2＝ax+3 的图象相交于点 A（m，2），则关于 x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（   ）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

5．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（　　）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9

6．如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6x﹣2的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2

7．如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，kx+b＜x+a中，正确的个数是（             ）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C．随的增大而减小 D．当时，

题组B  能力提升练

9．如图，直线y＝kx＋b上有一点P(－1，3)，回答下列问题：

(1)关于x的方程kx＋b＝3的解是_______．

(2)关于x的不等式kx＋b>3的解是________．

(3)关于x的不等式kx＋b－3<0的解是______．

(4)求不等式－3x≥kx＋b的解．

(5)求不等式(k+3)x＋b>0的解．

10．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．

①；②；③当时，；④；⑤．

11．一次函数 y1＝kx+b 与 y2＝x+a 的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当 x＝3 时，y1＝y2；④不等式 kx+b＞x+a 的解集是 x＜3，其中正确的结论有_______．（只填序号）

12．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____.

13．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为_____．

14．如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P（a，3），则关于x不等式（3﹣k）x≤2的解集为_____.

15．一次函数，当时，，那么不等式的解集为__________.

题组C  培优拔尖练

16．如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．

（1）求△AOB的面积；

（2）求y1＞y2时x的取值范围．

17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

18．如图，已知直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=2x﹣4交x轴于点D，与直线AB相交于点C（3，2）．

（1）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集；

（2）若点A的坐标为（5，0），求直线AB的解析式；

（3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积．

19．已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．

（1）求点A的坐标．

（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．

（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．