初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形导学案

第11课  矩形

知识点01  矩形的定义

有一个角是          的平行四边形叫做矩形.

注意：

矩形定义的两个要素：

①是        ；

②有一个角是        .

即矩形首先是一个        ，然后增加一个角是         这个特殊条件.

知识点02  矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的        相等；

3.矩形的四个角都是        ；

4.矩形是        称图形，它有         条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：

从边看，矩形对边               ；

从角看，矩形四个角都是                ；

从对角线看，矩形的对角线               .

知识点03  矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是               的               叫做矩形.

2.对角线               的                是矩形.

3.有               是矩形.

注意：

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

知识点04  直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于               .

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：

①直角三角形两锐角               ；

②直角三角形两直角边的               等于               ；

③直角三角形中30°所对的直角边等于                .

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

考法01   矩形的性质

【典例1】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

【即学即练】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．

(1)求证：；

(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．

【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．

考法02   矩形的判定

【典例3】如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）求证：四边形BCDE是矩形．

【即学即练】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．

（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

考法03  直角三角形斜边上的中线的性质

【典例4】如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．   

求证：FG⊥DE．

【即学即练】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A.    B.      C.      D.

题组A  基础过关练

1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　)

A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角

2．能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）

A．对角线相等 B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（     ）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm

4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A． B．6 C．4 D．5

5．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（　　）

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝4cm，则AF的长度是（       ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm

7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4

8．如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（       ）

A．2.5 B．1.5 C．4 D．5

9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10

C．8 D．6

10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（       ）

A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4

题组B  能力提升练

11．如图，已知四边形是平行四边形，再增加一个条件____即可判定四边形是矩形．（不添加其他辅助线）

12．若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是_________．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，M是BC的中点，P是A′B′的中点，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．

15．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______的路程．

16．如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．

题组C  培优拔尖练

17．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE

求证：四边形BECD是矩形．

18．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.

求证：（1）△ODE≌△FCE;

（2）四边形OCFD是矩形．

20．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．