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2021学年第十章 数据的收集、整理与描述10.2 直方图学案
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这是一份2021学年第十章 数据的收集、整理与描述10.2 直方图学案，文件包含人教版七年级数学下册同步精品讲义第29课直方图教师版docx、人教版七年级数学下册同步精品讲义第29课直方图学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
注意：
（1）求频数分布表的一般步骤：
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③确定分点；
④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1．
知识点02 频数分布直方图
1．频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成．
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数．
2．作直方图的步骤：
(1)计算最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数；
(3)列频数分布表；
(4)画频数分布直方图．
注意：
(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
(2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布．
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；
（2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数.
知识点03 频数分布折线图
频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点(直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距)；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图．
能力拓展
考法01 组距、频数与频数分布表的概念
【典例1】
(1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_____．
(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．
【答案】(1)10 (2)10.
【解析】
解：(1)利用频数的定义进行分析；(2)利用组数的计算方法求解．
【点睛】组数的确定方法是，设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值与最小值的差除以组距所得商的整数部分加1．
【即学即练】将100个数据分成①～⑧组，如下表所示：
那么第④组的频率为（ ）
A．24B．26C．0.24D．0.26
【答案】C．
解：根据表格中的数据，得
第④组的频数为100﹣（4+8+12+24+18+7+3）=24，
其频率为24：100=0.24．
考法02 频数分布表或直方图
【典例2】九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．
【分析】利用合格的人数即50﹣4=46人，除以总人数即可求得．
【答案】92%．
【解析】
解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%．
故答案是：92%．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【即学即练】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（ ）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
【答案】B.
考法03 频数分布折线图
【典例3】抽样检查40个工件的长度，收集到如下一组数据(单位：cm)：
23.26 23.27 23.52 23.51 23.43 23.42 23.54 23.55 23.66
23.67 23.31 23.30 23.27 23.28 23.41 23.40 23.55 23.56
23.44 23.43 23.38 23.39 23.63 23.64 23.54 23.56 23.46
23.44 23.48 23.46 23.50 23.53 23.55 23.46 23.44 23.45
23.47 23.49 23.50 23.46
试列出这组数据的频数分布表．画出频数分布直方图和频数折线圈．
【分析】利用频数分布直方图画频数折线图时，折线图的两个端点要与横轴相交，其方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到轴两端假想组的组中点，就形成了频数折线图．
【答案与解析】
解：列频数分布表如下：
根据上表，画出频数分布直方图；连接各小长方形上面一条边的中点及横轴上距直方图左右相距半个组距的两个频数为0的点得到频数折线图(如图所示)．
【点睛】本例分组采用了“每组端点比数据多一位小数”，即第一组的起点比数据的最小值再小一点的方法．体会这种分组方法的优势，对我们今后的学习很有帮助．
考法04 综合应用
【典例4】低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图(每组均含最小值，不含有最大值)和扇形统计图，下图中从左到右各长方形的高度之比为2:8:9:7:3:1．
(1)已知碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)的单位有16个，则此次行动共调查了________个单位；
(2)在图②中，碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)部分的圆心角为_________度；
(3)小明把图①中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，依此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【分析】
(1)先算出碳排放值在5≤x＜7范围内所对应的比例，再求一共调查了多少个单位；
(2)由碳排放值在5≤x＜7范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
(3)先计算碳排放值4≤x＜5的单位、碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位个数，再算出碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
解：(1)16÷＝120(个)，故填120；
(2)4÷30×360°＝48°，故填48；
(3)碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位是第4，5，6组，分别有28个、12个、4个单位，10000×(28×4.5+12×5.5+4×6.5)÷1000＝10×(126+66+26)＝2180(吨)．
所以，碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【点睛】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程对解题大有帮助，值得学习和借鉴．
【即学即练】 2021年5月9日至14日，德州市订共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A、B、C、D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝________，n＝________，x＝________，y＝________；
(2)在扇形图中，C等级所对应的圆心角是________度；
(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人?
【答案】
解：(1)20，8，0．4，0.16； (2)57.6；
(3)由上表可知达到优秀和良好的共有19+20＝39(人)，500×(人)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表:
则通话时间不超过15 min的频率为( )
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．
【详解】
解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，
∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，
故选D．
【点睛】
本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．
2．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成（ ）
A．10组B．9组C．8组D．7组
【答案】A
【解析】
【详解】
在这组数据中最大值为143，最小值为50，它们的差为143-50=93，已知组距为10，可知93÷10=9.3，故可以分成10组．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了频数直方图的组距，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
3．在频数分布直方图中，有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形面积的和的，且数据有个，则中间一组的频数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有x+y=1,x= y,解得x=0.2∴中间一组的频数=160×0.2=32．
【详解】
解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，
则有x+y=1, x= y,
解得x=0.2
∴中间一组的频数=160×0.2=32．
故选C.
【点睛】
本题是对频率、频数灵活运用的考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系
4．在全班45人中进行了你最喜爱的电视节目的调查活动，喜爱的电视剧有人数为18人，喜爱动画片有人数为15人，喜爱体育节目有人数为10人，则下列说法正确的是（ ）
A．喜爱的电视剧的人数的频率是
B．喜爱的电视剧的人数的频率是
C．喜爱的动画片的人数的频率是
D．喜爱的体育节目的人数的频率是
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：频率应为频数除以总数，所以喜欢看电视剧、动画片和体育节目的频率分别是、、 ，故选B.
5．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼．小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ）
A．第四小组有10人B．本次抽样调查的样本容量为50
C．该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为480人D．第五小组对应圆心角的度数为
【答案】D
【解析】
【分析】
结合条形图和扇形图，求出样本人数，进行解答即可．
【详解】
根据直方图可知第二小组人数为10人，根据扇形图知第二小组占样本容量数的，则抽取样本人数为人，故B选项正确；
所以，第四小组人数为人，故A选项正确；
第五小组对应的圆心角度数为，故D选项错误；
用样本估计总体，该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为人，故C选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题综合考查总体、个体、样本、样本容量，以及扇形统计图和频数（率）分布直方图．准确理解总体、个体、样本、样本容量、扇形统计图和频数（率）分布直方图等的相关概念是关键．
6．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法：
①这栋居民楼共有居民140人
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多
③有的人每周使用手机支付的次数在35～42次
④每周使用手机支付不超过21次的有15人
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.
【详解】
解：①这栋居民楼共有居民3＋10＋15＋22＋30＋25＋20＝125人，此结论错误；
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多，此结论正确；
③每周使用手机支付的次数在35～42次所占比例为，此结论正确；
④每周使用手机支付不超过21次的有3＋10＋15＝28人，此结论错误；
故选B．
【点睛】
此题考查直方图的意义，解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据
7．已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，则频率为0.2的范围是( )
A．6～7B．10～11C．8～9D．12～13
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出各组的频数，再除以20即可求得各组的频率，看谁的频率等于0.2．
【详解】
A中，其频率=2÷20=0.1；
B中，其频率=6÷20=0.3；
C中，其频率=8÷20=0.4；
D中，其频率=4÷20=0.2．
故选D．
【点睛】
首先数出数据的总数，然后数出各个小组内的数据个数，即频数．根据频率=频数÷总数进行计算．
8．小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间，并绘制了直方图．有以下说法：①小文同学一共统计了60人；②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人；③每天微信阅读30～40分钟的人数最多；④每天微信阅读0－10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是( )
A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④
【答案】D
【解析】
【详解】
①小文同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74(人)，则命题错误；
②每天微信阅读不足20分钟的人数有4+8=12(人)，故命题错误；
③每天微信阅读30−40分钟的人数最多，正确；
④每天微信阅读0−10分钟的人数最少，正确．
故选D.
点睛: 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
题组B 能力提升练
9．在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．
【答案】5
【解析】
【详解】
解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5．
考点：频数与频率
10．将某中学九年级组的全体教师按年龄分成三组，情况如下表所示，则表中a的值是_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．
【详解】
解：∵1−20%=80%，
∴(6+10)÷80%=20，
∴20×20%=4.
即a=4.
故答案为4.
【点睛】
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
11．一个容量为80的样本，其中数据的最大值是143，最小值是50，若取组距为10，则适合将其分成_______组
【答案】10
【解析】
【详解】
分析：求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
详解：143-50=93，
93÷10=9.3，
所以应该分成10组．
故答案为10．
点睛：本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
12．某校在“数学小论文“评比活动中，共征集到论文100篇，对论文评比的分数(分数为整数)整理后，分组画出频数分布直方图(如图)，已知从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3，那么在这次评比中被评为优秀的论文(分数大于或等于80分为优秀)有______篇．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3和总篇数，分别求出各个方格的篇数，再根据分数大于或等于80分为优秀且分数为整数，即可得出答案．
【详解】
∵从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3，共征集到论文100篇，
∴第一个方格的篇数是：×100=5（篇）；
第二个方格的篇数是：×100=15（篇）；
第三个方格的篇数是：×100=35（篇）；
第四个方格的篇数是：×100=30（篇）；
第五个方格的篇数是：×100=15（篇）；
∴这次评比中被评为优秀的论文有：30+15=45（篇）；
故答案为45．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
13．一个样本含有20个数据：68、69、70、66、68、64、65、65、69、62、67、66、65、67、63、65、64、61、65、66，在列频率分布表时，如果组距为2，那么应分为____组，在64.5～66.5这一小组的频率为________
【答案】 5
【解析】
【详解】
在样本数据中最大值为70，最小值为61，它们的差是70-61=9，
已知组距为2，那么由于 =4.5，故可以分成5组．
在64.5～66.5这一小组的数为66、65、65、66、65、65、65、66，共8个，
这一小组的频率为．
14．八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为100分，成绩均为整数），若将成绩不低于90分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是___．
【答案】30%
【解析】
【详解】
解:∵由频数分布直方图得，总人数是：5+10+20+15=50（人），优秀的人数是：15人，
∴该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是：×100%=30%．
题组C 培优拔尖练
15．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224
【解析】
【分析】
（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【详解】
解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人，
故答案为23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，
，
故答案为77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，
甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）．
【点睛】
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
16．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【答案】（1）a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）补图见解析；（3）6.4本；（4）528人.
【解析】
【分析】
（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【详解】
（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10,b==0.28，c=50；
故答案为a＝10，b＝0.28，c＝50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．
17．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；
（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【答案】（1）0.1；0.35；（2）见解析；（3）108°；（4）1800名
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人数，再根据扇形统计图求出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值.
（2）由（1）可得；
（3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘360°即可．
（4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘2000即可解答.
【详解】
解：（1）根据频数分布直方图可知：a＝4÷40＝0.1，
因为40×25%＝10，
所以b＝（40﹣4﹣12﹣10）÷40＝14÷40＝0.35，
故答案为：0.1；0.35；
（2）如图，即为补全的频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；
故答案为：108°；
（4）因为2000×＝1800，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．
【点睛】
本题主要考查频数与频率，解题关键是熟练掌握频率=频数÷总数.课程标准
1. 会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；
2. 会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用.
组号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
频数
4
8
12
24
18
7
3
通话时间
x/min
051015频数
(通话次数)
20
16
9
5
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
0.2
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
等级
次数
频率
不合格
100≤x120
a
合格
120≤x140
b
良好
140≤x160
优秀
160≤x180
目标导航
知识精讲
知识点01 组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
注意：
（1）求频数分布表的一般步骤：
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③确定分点；
④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1．
知识点02 频数分布直方图
1．频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成．
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数．
2．作直方图的步骤：
(1)计算最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数；
(3)列频数分布表；
(4)画频数分布直方图．
注意：
(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
(2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布．
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；
（2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数.
知识点03 频数分布折线图
频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点(直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距)；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图．
能力拓展
考法01 组距、频数与频数分布表的概念
【典例1】
(1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_____．
(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．
【答案】(1)10 (2)10.
【解析】
解：(1)利用频数的定义进行分析；(2)利用组数的计算方法求解．
【点睛】组数的确定方法是，设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值与最小值的差除以组距所得商的整数部分加1．
【即学即练】将100个数据分成①～⑧组，如下表所示：
那么第④组的频率为（ ）
A．24B．26C．0.24D．0.26
【答案】C．
解：根据表格中的数据，得
第④组的频数为100﹣（4+8+12+24+18+7+3）=24，
其频率为24：100=0.24．
考法02 频数分布表或直方图
【典例2】九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．
【分析】利用合格的人数即50﹣4=46人，除以总人数即可求得．
【答案】92%．
【解析】
解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%．
故答案是：92%．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【即学即练】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（ ）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
【答案】B.
考法03 频数分布折线图
【典例3】抽样检查40个工件的长度，收集到如下一组数据(单位：cm)：
23.26 23.27 23.52 23.51 23.43 23.42 23.54 23.55 23.66
23.67 23.31 23.30 23.27 23.28 23.41 23.40 23.55 23.56
23.44 23.43 23.38 23.39 23.63 23.64 23.54 23.56 23.46
23.44 23.48 23.46 23.50 23.53 23.55 23.46 23.44 23.45
23.47 23.49 23.50 23.46
试列出这组数据的频数分布表．画出频数分布直方图和频数折线圈．
【分析】利用频数分布直方图画频数折线图时，折线图的两个端点要与横轴相交，其方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到轴两端假想组的组中点，就形成了频数折线图．
【答案与解析】
解：列频数分布表如下：
根据上表，画出频数分布直方图；连接各小长方形上面一条边的中点及横轴上距直方图左右相距半个组距的两个频数为0的点得到频数折线图(如图所示)．
【点睛】本例分组采用了“每组端点比数据多一位小数”，即第一组的起点比数据的最小值再小一点的方法．体会这种分组方法的优势，对我们今后的学习很有帮助．
考法04 综合应用
【典例4】低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图(每组均含最小值，不含有最大值)和扇形统计图，下图中从左到右各长方形的高度之比为2:8:9:7:3:1．
(1)已知碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)的单位有16个，则此次行动共调查了________个单位；
(2)在图②中，碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)部分的圆心角为_________度；
(3)小明把图①中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，依此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【分析】
(1)先算出碳排放值在5≤x＜7范围内所对应的比例，再求一共调查了多少个单位；
(2)由碳排放值在5≤x＜7范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
(3)先计算碳排放值4≤x＜5的单位、碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位个数，再算出碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
解：(1)16÷＝120(个)，故填120；
(2)4÷30×360°＝48°，故填48；
(3)碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位是第4，5，6组，分别有28个、12个、4个单位，10000×(28×4.5+12×5.5+4×6.5)÷1000＝10×(126+66+26)＝2180(吨)．
所以，碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【点睛】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程对解题大有帮助，值得学习和借鉴．
【即学即练】 2021年5月9日至14日，德州市订共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A、B、C、D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝________，n＝________，x＝________，y＝________；
(2)在扇形图中，C等级所对应的圆心角是________度；
(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人?
【答案】
解：(1)20，8，0．4，0.16； (2)57.6；
(3)由上表可知达到优秀和良好的共有19+20＝39(人)，500×(人)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表:
则通话时间不超过15 min的频率为( )
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．
【详解】
解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，
∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，
故选D．
【点睛】
本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．
2．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成（ ）
A．10组B．9组C．8组D．7组
【答案】A
【解析】
【详解】
在这组数据中最大值为143，最小值为50，它们的差为143-50=93，已知组距为10，可知93÷10=9.3，故可以分成10组．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了频数直方图的组距，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
3．在频数分布直方图中，有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形面积的和的，且数据有个，则中间一组的频数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有x+y=1,x= y,解得x=0.2∴中间一组的频数=160×0.2=32．
【详解】
解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，
则有x+y=1, x= y,
解得x=0.2
∴中间一组的频数=160×0.2=32．
故选C.
【点睛】
本题是对频率、频数灵活运用的考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系
4．在全班45人中进行了你最喜爱的电视节目的调查活动，喜爱的电视剧有人数为18人，喜爱动画片有人数为15人，喜爱体育节目有人数为10人，则下列说法正确的是（ ）
A．喜爱的电视剧的人数的频率是
B．喜爱的电视剧的人数的频率是
C．喜爱的动画片的人数的频率是
D．喜爱的体育节目的人数的频率是
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：频率应为频数除以总数，所以喜欢看电视剧、动画片和体育节目的频率分别是、、 ，故选B.
5．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼．小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ）
A．第四小组有10人B．本次抽样调查的样本容量为50
C．该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为480人D．第五小组对应圆心角的度数为
【答案】D
【解析】
【分析】
结合条形图和扇形图，求出样本人数，进行解答即可．
【详解】
根据直方图可知第二小组人数为10人，根据扇形图知第二小组占样本容量数的，则抽取样本人数为人，故B选项正确；
所以，第四小组人数为人，故A选项正确；
第五小组对应的圆心角度数为，故D选项错误；
用样本估计总体，该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为人，故C选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题综合考查总体、个体、样本、样本容量，以及扇形统计图和频数（率）分布直方图．准确理解总体、个体、样本、样本容量、扇形统计图和频数（率）分布直方图等的相关概念是关键．
6．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法：
①这栋居民楼共有居民140人
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多
③有的人每周使用手机支付的次数在35～42次
④每周使用手机支付不超过21次的有15人
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.
【详解】
解：①这栋居民楼共有居民3＋10＋15＋22＋30＋25＋20＝125人，此结论错误；
②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多，此结论正确；
③每周使用手机支付的次数在35～42次所占比例为，此结论正确；
④每周使用手机支付不超过21次的有3＋10＋15＝28人，此结论错误；
故选B．
【点睛】
此题考查直方图的意义，解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据
7．已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，则频率为0.2的范围是( )
A．6～7B．10～11C．8～9D．12～13
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出各组的频数，再除以20即可求得各组的频率，看谁的频率等于0.2．
【详解】
A中，其频率=2÷20=0.1；
B中，其频率=6÷20=0.3；
C中，其频率=8÷20=0.4；
D中，其频率=4÷20=0.2．
故选D．
【点睛】
首先数出数据的总数，然后数出各个小组内的数据个数，即频数．根据频率=频数÷总数进行计算．
8．小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间，并绘制了直方图．有以下说法：①小文同学一共统计了60人；②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人；③每天微信阅读30～40分钟的人数最多；④每天微信阅读0－10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是( )
A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④
【答案】D
【解析】
【详解】
①小文同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74(人)，则命题错误；
②每天微信阅读不足20分钟的人数有4+8=12(人)，故命题错误；
③每天微信阅读30−40分钟的人数最多，正确；
④每天微信阅读0−10分钟的人数最少，正确．
故选D.
点睛: 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
题组B 能力提升练
9．在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______．
【答案】5
【解析】
【详解】
解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5．
考点：频数与频率
10．将某中学九年级组的全体教师按年龄分成三组，情况如下表所示，则表中a的值是_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．
【详解】
解：∵1−20%=80%，
∴(6+10)÷80%=20，
∴20×20%=4.
即a=4.
故答案为4.
【点睛】
本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．
11．一个容量为80的样本，其中数据的最大值是143，最小值是50，若取组距为10，则适合将其分成_______组
【答案】10
【解析】
【详解】
分析：求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
详解：143-50=93，
93÷10=9.3，
所以应该分成10组．
故答案为10．
点睛：本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
12．某校在“数学小论文“评比活动中，共征集到论文100篇，对论文评比的分数(分数为整数)整理后，分组画出频数分布直方图(如图)，已知从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3，那么在这次评比中被评为优秀的论文(分数大于或等于80分为优秀)有______篇．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3和总篇数，分别求出各个方格的篇数，再根据分数大于或等于80分为优秀且分数为整数，即可得出答案．
【详解】
∵从左到右5个小长方形的高的比为1：3：7：6：3，共征集到论文100篇，
∴第一个方格的篇数是：×100=5（篇）；
第二个方格的篇数是：×100=15（篇）；
第三个方格的篇数是：×100=35（篇）；
第四个方格的篇数是：×100=30（篇）；
第五个方格的篇数是：×100=15（篇）；
∴这次评比中被评为优秀的论文有：30+15=45（篇）；
故答案为45．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
13．一个样本含有20个数据：68、69、70、66、68、64、65、65、69、62、67、66、65、67、63、65、64、61、65、66，在列频率分布表时，如果组距为2，那么应分为____组，在64.5～66.5这一小组的频率为________
【答案】 5
【解析】
【详解】
在样本数据中最大值为70，最小值为61，它们的差是70-61=9，
已知组距为2，那么由于 =4.5，故可以分成5组．
在64.5～66.5这一小组的数为66、65、65、66、65、65、65、66，共8个，
这一小组的频率为．
14．八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为100分，成绩均为整数），若将成绩不低于90分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是___．
【答案】30%
【解析】
【详解】
解:∵由频数分布直方图得，总人数是：5+10+20+15=50（人），优秀的人数是：15人，
∴该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是：×100%=30%．
题组C 培优拔尖练
15．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224
【解析】
【分析】
（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【详解】
解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人，
故答案为23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，
，
故答案为77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，
甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）．
【点睛】
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
16．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【答案】（1）a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）补图见解析；（3）6.4本；（4）528人.
【解析】
【分析】
（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【详解】
（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10,b==0.28，c=50；
故答案为a＝10，b＝0.28，c＝50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．
17．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了40名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如表格和统计图：
请结合上述信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是 ；
（4）若该校有2000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．
【答案】（1）0.1；0.35；（2）见解析；（3）108°；（4）1800名
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布直方图中不合格的数除总数即可求得a值；同理得出良好的人数，再根据扇形统计图求出优秀的人数即可得出合格的人数，再除总数即可求得b的值.
（2）由（1）可得；
（3）由（1）得出良好的人数除总人数，再乘360°即可．
（4）先求出40个人合格及以上的人数占总人数的频率再乘2000即可解答.
【详解】
解：（1）根据频数分布直方图可知：a＝4÷40＝0.1，
因为40×25%＝10，
所以b＝（40﹣4﹣12﹣10）÷40＝14÷40＝0.35，
故答案为：0.1；0.35；
（2）如图，即为补全的频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是360°×＝108°；
故答案为：108°；
（4）因为2000×＝1800，
所以估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数是1800．
【点睛】
本题主要考查频数与频率，解题关键是熟练掌握频率=频数÷总数.课程标准
1. 会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；
2. 会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用.
组号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
频数
4
8
12
24
18
7
3
通话时间
x/min
0
(通话次数)
20
16
9
5
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
0.2
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
等级
次数
频率
不合格
100≤x120
a
合格
120≤x140
b
良好
140≤x160
优秀
160≤x180
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