初中北师大版2.3 绝对值导学案

绝对值与相反数（提高）

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【要点梳理】

要点一、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．

2．性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为0．

要点二、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．

要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．

要点三、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点四、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2．法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【典型例题】

类型一、相反数的概念

1．（2020•常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n﹣2|=　   　．

【答案】2

【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n﹣2|=|0﹣2|=2．

【总结升华】若互为相反数，则或．

举一反三：

【变式】（2020秋•监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y=　   　．

【答案】-1.

∵|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，

∴|x﹣2|+（y+3）2=0，

∴x﹣2=0，y+3=0，

解得x=2，y=﹣3，

∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．

故答案为：﹣1．

类型二、多重符号的化简

2．化简下列各数．

①；  ②；  ③ ；④；⑤

【答案】①6； ②；③6；④-6；⑤6

【解析】①表示-6的相反数，所以；

②表示+6的相反数，所以；

③ 前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；

④中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=-6；

⑤中共有4个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以

【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型三、绝对值的概念

3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．

【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．

【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；

              因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；

              由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．

举一反三：

【变式】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为        ．

如果｜x－2｜＝1，那么x＝         ；

          如果｜x｜＞3，那么x的范围是           ．

【答案】6或-6；1或3；或

类型四、比较大小

4． 比较下列每组数的大小：

    (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．

          因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．

(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．

(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．

    (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

类型五、含有字母的绝对值的化简

5．（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　            ．

【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．

【答案】2x﹣3．

【解析】

解：原式=x+1﹣（﹣x+4），

=x+1+x﹣4，

=2x﹣3.

【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．

举一反三：

【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：
　　　　　
　　

化简：
【答案】由图所示，可得．
　　　　∴ ，，，
　　　　∵
　　　　　 ．
　　　　∴ 原式．

类型六、绝对值非负性的应用

6． 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．

【答案与解析】由，，，

可得 ∴

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

举一反三：

【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．

【答案】   由题意得 ∴       所以，

类型七、绝对值的实际应用 

7．一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?

【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.

【答案与解析】小虫爬行的总路程为：

|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)

小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)

答：小虫一共可以得到108粒芝麻．

【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.