考点57 古典概型（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点57  古典概型

从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预测2021年将会考查：①古典概型的基本计算；②古典概型与其他知识相结合．题型以解答题为主，也可能出选择题、填空题，与实际背景相结合，试题难度中等.

一、简单的古典概型；

二、古典概型与统计知识交汇；

三、列举基本事件的有序与无序的区分

【易错警示】

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)

(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)

(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)

2．(易错点)从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________．(结果用最简分数表示)

答案：

[常用结论]

1．列举基本事件的方法

(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．

(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．

2．如果把所有事件组成一个集合，元素个数为n，所研究事件A组成一个集合，元素个数为m，则P(A)＝.

简单的古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等．

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．

解决关于古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)当基本事件的总数较少时，可用列举法把所有基本事件一一列举出来．

(2)注意区分排列与组合，正确使用计数原理．

【典例】

　(1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A．　　　　 B．　　　　

C．　　　　 D．

解析：选A．重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．故所求概率P＝＝，故选A．

(2)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选C．不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝＝，故选C．

古典概型与统计知识交汇

古典概型的概率公式

(1)在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是．

(2)如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝.即对于古典概型，任何事件的概率为P(A)＝．

【典例】

命题点1 | 概率与统计图表交汇

　(2019·河南焦作第四次模拟)新个税法于2019年1月1日起实行．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1 000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中a＝4b.

(1)求a，b的值，并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)

(2)若按照分层抽样从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．

解：(1)依题意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03.

又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006.

所以中位数为70＋≈75.14.

(2)依题意，知从分数在[50，60)的员工中抽取了2人，记为a，b，从分数在[60，70)的员工中抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，

所以从这8人中随机抽取2人的所有情况为(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28种．

其中满足条件的为(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13种，设“至少有1人的分数在[50，60)”为事件A，则P(A)＝.

命题点2 | 概率与统计案例交汇

　某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．

规定：A，B，C三个等级为合格，D等级为不合格．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．

按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组作出的频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．

(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高三年级学生成绩合格的概率；

(2)根据频率分布直方图，求成绩的中位数；(精确到0.1)

(3)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．

解：(1)由题意知，样本容量n＝＝50，

x＝＝0.004，y＝＝0.018.

因为成绩合格的人数为(1－0.1)×50＝45，

所以抽取的50人中成绩是合格等级的概率P＝，即估计该校高三年级学生成绩合格的概率为.

(2)根据频率分布直方图，知成绩的中位数为70＋×10≈73.9(分)．

(3)由茎叶图知，A等级的学生有3人，由频率分布直方图知D等级的学生有0.1×50＝5人，

记A等级的学生为a、b、c，D等级的学生为d、e、f、g、h，

从这8人中随机抽取2人，基本事件是：

ab、ac、ad、ae、af、ag、gh、bc、bd、be、bf、bg、bh、cd、ce、cf、cg、ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh，共28个；

至少有一名学生是A等级的基本事件是：

ab、ac、ad、ae、af、ag、ah、bc、bd、be、bf、bg、bh、cd、ce、cf、cg、ch，共18个，故所求的概率P＝＝.

列举基本事件的有序与无序的区分

从两组元素中依次抽取两个元素研究其数字特征的问题，应注意区分相应的基本事件是否与顺序有关，否则会出现不是等可能发生的基本事件，因此可以通过构建有序实数对化“非等可能发生的事件”“等可能发生的事件”，利用古典概型的概率计算公式求解即可．

在列举基本事件时，要根据取元素的实际过程与方法，确定所取出来的元素有没有顺序，一般来说，分“先后次”是“有序法”取元素，即交换元素先后顺序就是不同的事件，否则是“无序法”．对于基本事件为“有序”的，常利用(x，y)的形式来表示，“无序”的，常利用{x，y}的形式来表示，如本题中，{甲，c}表示选到甲，c，是无序的；任取2个数字求和没有先后顺序．

【典例】

　从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n，则＋＝1表示双曲线的概率为________．

解析：数对(m，n)可以是：(－1，－1)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，共12种情况．满足要求的数对(m，n)(mn＜0)可以是：(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，共5种情况．所以＋＝1表示双曲线的概率为.

答案：

　质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2＋n2≤4为事件M，则事件M发生的概率为________．

解析：两次点数分别为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共有16种情形，其中事件M所含的基本事件分别为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，共6种情形，由古典概型的计算公式可得，事件M发生的概率为P(A)＝＝.

答案：