- 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 3 次下载
- 5.3诱导公式--【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册同步讲义(学生版+教师 其他 4 次下载
- 5.4.3 正切函数的性质和图象-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 3 次下载
- 5.4三角函数的图象和性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册同步讲义(学生版+教师版) 其他 3 次下载
- 5.5.1 两角差的余弦公式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版) 其他 3 次下载
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义(学生版+教师版)
展开正弦函数、余弦函数的性质
要点 一:周期函数的定义
函数,定义域为I,当时,都有,其中T是一个非零的常数,则是周期函数,T是它的一个周期.
要点 二:正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 | 正弦函数y=sinx | 余弦函数y=cosx |
定义域 | R | R |
值域 | [-1,1] | [-1,1] |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 |
周期性 | 最小正周期 | 最小正周期 |
单调区间 k∈Z | 增区间: 减区间: | 增区间: 减区间: |
最值点 k∈Z | 最大值点 最小值点 | 最大值点 最小值点 |
对称中心 k∈Z | ||
对称轴 k∈Z |
要点 三:正弦型函数和余弦型函数的性质
函数与函数可看作是由正弦函数,余弦函数复合而成的复合函数,它们的性质可由正弦函数,余弦函数类似地得到:
(1)定义域:
(2)值域:
(3)单调区间:求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把视为一个“整体”,分别与正弦函数,余弦函数的单调递增(减)区间对应解出,即为所求的单调递增(减)区间。
比如:由解出的范围所得区间即为增区间,
由解出的范围,所得区间即为减区间。
(4)奇偶性:
对于函数,当时为奇函数,当时为偶函数;
对于函数,当时为偶函数,当时为奇函数。
(5)周期:函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关,其周期为。
(6)对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知,当时,函数取得最大值(或最小值),因此函数的对称轴由解出,其对称中心的横坐标,即对称中心为。
同理,的对称轴由解出,对称中心的横坐标由解出。
【典型例题】
类型一:正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1.求函数的定义域;
举一反三:
【变式1】求函数的定义域.
【变式2】已知的定义域为[0,1),求的定义域.
例2.求下列函数的值域:
(1)y=|sin x|+sin x;
(2),;
(3)。
举一反三:
【变式1】已知.
(1)求函数y=cos x的值域;
(2)求函数的最大值和最小值.
类型二:正弦函数、余弦函数的单调性
例3.已知函数,x∈R
(1)求f(0)的值;
(2)求函数f(x)的最大值,并求f(x)取最大值时x取值的集合;
(3)求函数f(x)的单调增区间.
举一反三:
【变式1】求函数y=-|sin(x+)|的单调区间:
【变式2】比大小:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【变式3】 sin1,cos1,tan1的大小关系是( )
A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1
C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1
类型三:正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4.判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2)。
(3)。
举一反三:
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,都是非奇非偶函数;
②不存在,使既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使是奇函数;
④对任意的,都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立.
类型四:正弦函数、余弦函数的对称性
例5.指出下列函数的对称轴与对称中心
(1); (2).
类型五:正弦函数、余弦函数的周期
例6.求下列函数的周期:(1); (2)。
类型六:正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7.解不等式:
(1) (2) (3) (4)
例8.已知函数
(1)求函数的定义域和值域; (2)求函数的周期; (3)求函数的最值及相应的x值集合
(4)求函数的单调区间; (5)若,求的取值范围;
(6)求函数的对称轴与对称中心;
(7)解不等式:
举一反三:
【变式1】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
【巩固练习】
1.下列结论错误的是( )
A.正弦函数与函数是同一函数
B.向左、右平移2π个单位,图象都不变的函数一定是正弦函数
C.直线是正弦函数图象的一条对称轴
D.点是余弦函数图象的一个对称中心
2.函数是上的偶函数,则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象过点,则f(x)的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
4.函数(x∈R)的最小值等于( )
A.―3 B.―2 C.―1 D.
5.已知函数在区间[0,a](其中a>0)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 的值域是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( ).
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
8.函数的图象是下图中的( )
9.函数的定义域是________.
10.设,若函数在上单调递增,则的取值范围是________.
11.函数的图象为C,以下结论中正确的是________.(写出正确结论的编号)
①图象C关于直线对称; ②函数在区间内是增函数;
③图象C关于点对称; ④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
12.已知函数. (1)求的定义域、值域; (2)判断的奇偶性.
13.已知f(x)=2sin+a+1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的取值集合.