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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第4章 §3 第2课时 对数函数的应用
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质优秀第2课时2课时教案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质优秀第2课时2课时教案,共9页。教案主要包含了+x)=lg等内容,欢迎下载使用。

    第2课时 对数函数的应用











    1.函数f(x)=ln (x2-2x-8)的单调递增区间是( )


    A.(-∞,-2) B.(-∞,1)


    C.(1,+∞) D.(4,+∞)


    D [由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.


    设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数.


    要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间.


    ∵函数t=x2-2x-8的单调递增区间为(4,+∞),


    ∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).


    故选D.]


    2.函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2+1)+x))是( )


    A.奇函数 B.偶函数


    C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数


    A [f(x)定义域为R,f(-x)+f(x)=lg ( eq \r(x2+1)-x)+lg ( eq \r(x2+1)+x)=lg [(x2+1)-x2]=lg 1=0,


    ∴f(x)为奇函数,故选A.]


    3.若y=lg(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围为________.


    (2,+∞) [由y=lg(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,所以2a-3>1,解得a>2.]


    4.求函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2))(6+x+2x2)的单调增区间.


    [解] 由6+x+2x2>0得2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,4))) eq \s\up8(2)+ eq \f(47,8)>0,即函数定义域是R.令u(x)=2x2+x+6,


    则函数u(x)=2x2+x+6的单调增区间为(- eq \f(1,4),+∞),单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,4))).


    又∵y=lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0,+∞)上是减函数,


    ∴函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2))(6+x+2x2)的单调增区间为(-∞,- eq \f(1,4)].








    对数函数图象的应用


    【例1】 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<lgax恒成立,则a的取值范围是( )


    A.(0,1) B.(1,2)


    C.(1,2] D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))


    C [设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=lgax,


    要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<lgax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=lgax的下方即可.当0<a<1时,显然不成立.


    当a>1时,如图所示,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=lgax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤lga2,lga2≥1,





    ∴1<a≤2.]





    1. 作函数图象的基本方法是列表描点法.另外,对形如y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))的图象可先作出y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象在y轴右侧的部分,再作关于y轴对称的图象,即可得到y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))的图象.y= eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的图象可先作出y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象,然后x轴上方的不动,下方的关于x轴翻折上去即可得到y= eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的图象.


    2. 如果只需作出函数的大致图象时,可采用图象变换.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.若实数a,b,c满足lga2<lgb2<lgc2,则下列关系中不可能成立的是( )


    A.a<b<c B.b<a<c


    C.c<b<a D.a<c<b


    A [由题中条件绘出函数图象如图所示.





    由图可知选A.]





    对数函数性质的应用


    角度一 解对数不等式


    【例2】 若lga eq \f(3,4)<1,求a的取值范围.


    [思路点拨] 把1化为同底的对数形式,利用对数函数的单调性求解.


    [解] 因为lga eq \f(3,4)<1,即lga eq \f(3,4)

    当a>1时,不等式成立;


    当0

    综上,实数a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,+∞)).





    解对数不等式时的注意点


    1.当不等式的一边是常数时,可利用m=lgaam化为与另一侧同底的对数式.


    2.当对数底数是字母时,需对底数进行讨论.


    3.要遵循“定义域”优先原则,解对数不等式要注意防止定义域的扩大.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.(1)满足不等式lg3x<1的x的取值集合为________.


    (2)若lga eq \f(2,5)<1,则a的取值范围为________.


    (1){x|01或0

    因此x的取值集合为{x|0

    (2)lga eq \f(2,5)<1,即lga eq \f(2,5)

    当a>1时,y=lgax在(0,+∞)上是增函数,所以a> eq \f(2,5),即a>1时,原不等式总成立;


    当0

    由lga eq \f(2,5)

    因此,a的取值范围为a>1或0

    角度二 比较大小


    【例3】 比较大小:


    (1)lg0.31.8,lg0.32.7;


    (2)lg67,lg76;


    (3)lg3π,lg20.8;


    (4)lg712,lg812.


    [思路点拨] (1)底数相同,可利用单调性比较;(2)与1比较;(3)可分别与“1”和“0”比较大小;(4)可结合图象比较大小.


    [解] (1)考查对数函数y=lg0.3x,


    ∵0<0.3<1,∴它在(0,+∞)上是减函数,


    ∴lg0.31.8>lg0.32.7;


    (2)∵lg67>lg66=1,lg76

    ∴lg67>lg76;


    (3)∵lg3π>lg31=0,lg20.8

    ∴lg3π>lg20.8;


    (4)在同一坐标系中作出函数y=lg7x与y=lg8x的图象,由底数变化对图象位置的影响知:





    lg712>lg812.





    比较对数值大小的类型与方法:





    提醒:(1)若底数为字母时,要分类讨论;(2)对一些复杂的对数式比较大小,还常用作差法、插值法等.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.已知a=lg52,b=lg0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )


    A. a

    C. b

    A [a=lg52=2,0.51<0.50.2<0.50,故 eq \f(1,2)

    所以a

    角度三 求复合函数的单调增区间


    【例4】 求函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-x+1))的单调增区间.


    [解] 因为x2-x+1= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2))) eq \s\up8(2)+ eq \f(3,4)>0,故函数的定义域为R.


    令u(x)=x2-x+1,则其单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)),单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2))).


    又∵y=lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-x+1)))的单调增区间为(-∞, eq \f(1,2)].





    函数y=lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0,且a≠1))的单调性


    (1)函数y=lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0,且a≠1))的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0

    (2)它由两个函数y=lgau,u=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))复合而成,因此可利用“同增异减”来研究,需要注意的是必须在定义域内求解.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    4.求函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-2x-3))的单调增区间.


    [解] 由x2-2x-3>0,得函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-1))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,+∞)).


    令u eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x2-2x-3=(x-1)2-4,,当x∈(-∞,-1)时u(x)是减函数,当x∈(3,+∞)时,u(x)是增函数.


    又∵y=lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-2x-3))的单调增区间为(-∞,-1).





    对数函数的实际应用


    【例5】 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少 eq \f(1,3),问至少过滤几次才能使产品达到市场要求?


    [解] 设过滤n次,依题意,得 eq \f(2,100)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,1000)即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,20).则n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),故n≥ eq \f(1+lg 2,lg 3-lg 2)≈7.4,


    考虑到n∈N,故n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.





    函数f(x)=lg2x是最基本的对数函数.它在(0,+∞)上是单调递增的.利用单调性可以解不等式,求函数值域,比较对数值的大小.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    5.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%,则至少要抽________次(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)


    8 [设至少抽n次,由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(n)<0.1%,n lg eq \f(2,5)<lg 10-3=-3,n(lg 2-lg 5)<-3,n> eq \f(3,1-2lg 2)≈7.5,取n为8.]








    1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数a是否大于1进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性;三是要注意其定义域.


    2.对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y=lgaf(x)型;另一类是内函数为对数函数,即y=f(lgax)型.对于y=lgaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=lgaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.


    研究y=f(lgax)型复合函数的单调性,一般用复合法判定即可,即令t=lgax,则只需研究t=lgax及y=f(t)的单调性即可.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)y=lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))的值域是R.( )


    (2)当a>1时,y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的单调区间与y=lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的单调区间一定相同.( )


    (3)函数y=lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2+bx+c))的定义域与值域不可能都是R.( )


    [答案] (1)√ (2)× (3)√


    2.已知f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((3a-1)x+4a,x<1,,lgax,x≥1))是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )


    A.(0,1)B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,3)))


    C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7),\f(1,3))) D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7),1))


    C [∵f(x)=lgax(x≥1)是减函数,


    ∴0<a<1且f(1)=0.


    ∵f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)为减函数,


    ∴3a-1<0.∴a< eq \f(1,3).


    又∵f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((3a-1)x+4a,x<1,,lgax,x≥1))是(-∞,+∞)上的减函数,


    ∴(3a-1)×1+4a≥0.


    ∴a≥ eq \f(1,7).


    ∴a∈[ eq \f(1,7), eq \f(1,3)).]


    3.世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是 ________(参考数据:lg 2≈0.301,100.0075≈1.017).


    1.7% [设原来人口为a,每年人口平均增长率是x,则a(1+x)40=2a,(1+x)40=2,


    两边取常用对数得:40lg (1+x)=lg 2,lg (1+x)= eq \f(lg 2,40)= eq \f(0.3010,40)≈0.0075,


    则1+x=100.0075≈1.017,x=0.017=1.7%.]


    4.已知函数y=(lg2x-2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x-\f(1,2))),2≤x≤8.


    (1)令t=lg2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围;


    (2)求该函数的值域.


    [解] (1)y=(lg2x-2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x-\f(1,2)))=(lg2x-2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg2x-\f(1,2))),


    令t=lg2x,得


    y= eq \f(1,2)(t-2)(t-1)= eq \f(1,2)t2- eq \f(3,2)t+1,又2≤x≤8,


    ∴1=lg22≤lg2x≤lg28=3,即1≤t≤3.


    (2)由(1)得y= eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(3,2))) eq \s\up8(2)- eq \f(1,8),


    1≤t≤3,结合数轴可得,


    当t= eq \f(3,2)时,ymin=- eq \f(1,8);


    当t=3时,ymax=1,


    ∴- eq \f(1,8)≤y≤1,


    即函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,8),1)).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.掌握对数函数的性质及应用.(难点)


    2.在解决简单实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型. (重点)
    借助对数函数图象及性质的应用,培养逻辑推理及数学运算素养.
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