数学选修2-13.1空间向量及其运算巩固练习

这是一份数学选修2-13.1空间向量及其运算巩固练习，共4页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。

1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1)
B.eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)
C.eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3)
D.eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)
2．与向量m＝(0,2，－4)共线的向量是( )
A．(2,0，－4) B．(3,6，－12)
C．(1,1，－2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))
3．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )
A.eq \f(\r(53),4) B.eq \f(53,2)
C.eq \f(\r(53),2) D.eq \f(\r(13),2)
4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4
C.eq \f(1,2) D．－6
6．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.eq \r(65) B.eq \f(\r(65),2)
C．4 D．8
7．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________________.
二、能力提升
8．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.
9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值是________________．
10．单位向量a＝(x，y,0)与向量c＝(1,1,1)的夹角为eq \f(π,4)，求：x＋y与xy的值．
11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))垂直，且|a|＝eq \r(3)，求向量a的坐标．
12．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为eq \r(2)，底面的边长为eq \r(3)，E是SA的中点，求异面直线BE与SC所成的角．
三、探究与拓展
13.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别
为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面
EFB1.
答案
1．C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A
7．(－4,2，－4) 8.120°
9.eq \f(3,70)eq \r(70)
10．解 ∵a与c的夹角为eq \f(π,4).
∴cs eq \f(π,4)＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(x，y，0·1，1，1,\r(3)·\r(x2＋y2))＝eq \f(\r(2),2).
化简得x＋y＝eq \f(\r(6),2)·eq \r(x2＋y2).①
又|a|2＝x2＋y2＝1，②
将②代入①，得x＋y＝eq \f(\r(6),2)，
从而(x＋y)2＝eq \f(3,2)，∴xy＝eq \f(1,4).
11．解 (1)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，
∴cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴∠BAC＝60°，
∴S＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin 60°＝7eq \r(3).
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥eq \(AB,\s\up6(→))⇒－2x－y＋3z＝0，
a⊥eq \(AC,\s\up6(→))⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝eq \r(3)⇒x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
12．解 建立如图所示的空间直角坐标系．
由于AB＝eq \r(3)，SA＝eq \r(2)，
可以求得SO＝eq \f(\r(2),2).则
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，0))，
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(\r(3),2)，0))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，0))，
Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(2),2))).
由于E为SA的中点，
所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，－\f(\r(3),4)，\f(\r(2),4)))，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)，－\f(3\r(3),4)，\f(\r(2),4)))，
eq \(SC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)，－\f(\r(2),2)))，
因为eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(SC,\s\up6(→))＝－1，|eq \(BE,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(SC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，所以cs〈eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(SC,\s\up6(→))〉＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
所以〈eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(SC,\s\up6(→))〉＝120°.
所以异面直线BE与SC所成的角为60°.
13.解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)、
B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E(1，eq \f(1,2)，0)、M(1,1，m)．连结
AC，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．而E、F分别为AB、BC的中点，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).
又因为eq \(B1E,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，－1))，
eq \(D1M,\s\up6(→))＝(1,1，m－1)，D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，
即eq \(D1M,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0，且eq \(D1M,\s\up6(→))·eq \(B1E,\s\up6(→))＝0.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋m－1×0＝0，,0－\f(1,2)＋1－m＝0，))
解得m＝eq \f(1,2).
故当M为B1B的中点时，就能满足D1M⊥平面EFB1.