数学人教版第十六章 二次根式综合与测试测试题

人教版2022年八年级下册第16章《二次根式》常考题型训练卷

一、选择题

1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（       ）

A．且 B． C． D．且

2．下列各式成立的是（       ）

A． B． C． D．

3．的相反数是（       ）

A． B． C． D．

4．根式中，最简二次根式有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列各式计算正确的是（        ）

A． B．

C． D．

6．若是整数，则正整数n的最小值是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知，化简二次根式的结果是（       ）

A． B． C． D．

8．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（       ）

A．78 cm2     B．cm2     C． cm2      D． cm2

9．对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n=，计算(3⊗2)＋(8⊗12)的结果为(　　)

A．+ B．2 C． D．-

10．若0<x<1，则 等于（        ）

A． B．－  C．－2x D．2x

二、填空题

11．的倒数是_________．

12．若a，b满足b＝﹣3，则平面直角坐标系中P（a，b）在第 ___象限．

13．求值：＝_____．

14．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是___________．

15．若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________．

16．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=______________________．

三、解答题

17．化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

18．计算：

19．先化简在求值： ，其中

20．已知，求代数式的值．

21．先化简，再求值：其中

22．已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：

（1）x2+2xy+y2；

（2）x2﹣y2．

23．阅读下面问题：

；

；

．

（1）试求的值；

（2）化简：（为正整数）；

（3）计算：

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据二次根式和分式有意义的条件即可得到且，由此求解即可．

【详解】

解：根据题意得：且，

解得：且，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解决本题的关键．

2．D

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质，逐一判断各个选项，即可．

【详解】

A. ，故该选项不成立；

B. ，故该选项不成立；

C. ，故该选项不成立；

D. ，故该选项成立．

故选：D

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键．

3．A

【解析】

【分析】

直接利用相反数的定义得出答案．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.

【详解】

解：的相反数是：．

故选：．

【点睛】

此题主要考查了求一个数的相反数，正确掌握相关定义是解题关键．

4．B

【解析】

【分析】

根据最简二次根式的定义判断即可．

【详解】

解：这些当中不是最简二次根式

是三次根式，故本题是最简二次根式的是

因此本题有2个，

故选：B

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义，理解好定义解题的关键．

5．C

【解析】

【分析】

根据合并同类二次根式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．

【详解】

解：A．，故本选项错误；       

B．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

C． ，故本选项正确；

D．，故本选项错误．

故选C．

【点睛】

此题考查的是二次根式的运算，掌握合并同类二次根式法则和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．

6．B

【解析】

【分析】

先将45写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出n的最小整数值．

【详解】

解：．

由是整数，得，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．

7．A

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件确定a、b的取值范围，再进行化简即可．

【详解】

解：∵有意义，

∴a、b异号，

∵a＜b，

∴a＜0，b＞0，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查二次根式的性质与化简，理解二次根式有意义的条件是解决问题的前提，掌握二次根式化简的方法是正确解答的关键．

8．D

【解析】

【分析】

根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．

【详解】

解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，

大正方形的边长是，

留下部分（即阴影部分）的面积是：

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．

9．C

【解析】

【分析】

先利用新定义得到原式=，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【详解】

解：（3⊗2）+（8⊗12）=

=

=．

故选C．

【点睛】

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

10．D

【解析】

【分析】

利用完全平方公式以及二次根式的性质，结合0<x<1，进行化简，即可得到答案．

【详解】

∵0<x<1，

∴＞0，＜0，

∴=

=

=+

=2x，

故选D

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握，是解题的关键．

11．

【解析】

【分析】

根据若两个数互为倒数，则这两个数的乘积为1即可得出结果．

【详解】

的倒数为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查倒数的定义，涉及二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

12．四

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．

【详解】

解：∵a，b满足b＝﹣3，

∴，

解得a＝2，

∴b＝﹣3，

∴P（a，b）为P（2，﹣3）在第四象限．

故答案为：四．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件以及平面直角坐标系中点的坐标特征，根据题意得出的值是解本题的关键．

13．2+3

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算法则解答即可．

【详解】

解：原式＝(2﹣3)2020·(2+3)2020·(2+3)＝(﹣1)2020·(2+3)＝2+3．

故答案为：2+3．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方以及二次根式的运算等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识和解答的方法是关键．

14．

【解析】

【分析】

首先根据的取值范围得出a，b的值进而求出即可．

【详解】

解：∵，的整数部分是a，小数部分是b，

∴a=1，b=

∴

故答案为：

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．

15．

【解析】

【分析】

先根据三角形三边的关系判断2-m和m-8的正负，然后根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

解：∵3，m，5为三角形的三边长，

∴5-3<m<5+3，

∴2<m<8，

∴2-m<0，m-8<0，

∴

=-(2-m)+(m-8)

=-2+m+m-8

=2m-10．

故答案为：2m-10．

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系，以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．

16．

【解析】

【分析】

依据新定义进行计算即可得到答案．

【详解】

解： a※b=

12※4＝

故答案为：

【点睛】

本题考查的是新定义下的实数的运算，弄懂定义的含义，掌握求解算术平方根是解题的关键．

17．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【解析】

【分析】

（1）把500因数分解为5×102即可；

（2）把12分解为3×22即可；

（3）先把被开方数中带分数化为假分数，利用分数的基本性质将分母变平方即可

（4）将被开方式中即可；

（5）将被开方式即可；

（6）将被开方式即可．

【详解】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

【点睛】

本题考查二次根式化为最简二次根式，掌握最简二次根式定义与化简方法是关键．

18．．

【解析】

【分析】

先计算二次根式的乘除法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得．

【详解】

原式

．

【点睛】

本题考查了二次根式的加减乘除法、以及化简，熟记二次根式的运算法则是解题关键．

19．-

【解析】

【详解】

分析：根据分式的混合运算法则化简，代入化简结果进行计算即可；

详解：

=

=

=

当x＝﹣2时

原式=.

点睛：本题考查分式的化简求值、解题的关键是掌握分式的混合运算的法则，注意最后结果要化成最简分式或整式．

20．

【解析】

【分析】

根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．

【详解】

解：∵，

∴，

∴

．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．

21．6a-3，

【解析】

【分析】

根据平方差公式及单项式乘多项式法则先进行展开，然后合并项，最后把a的数值代入进行计算即可．

【详解】

=a2-3-a2+6a

=6a-3，

当时，原式=-3=．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及了平方差公式，单项式乘多项式，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

22．（1）16；（2）﹣8

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算；

（2）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣2，再利用平方差公式得到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

（1）∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x+y＝4，

∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；

（2））∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2，

∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）

＝4×（﹣2）

＝﹣8．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．

23．（1）；（2）；（3）9

【解析】

【分析】

（1）由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此式子乘以分母利用平方差公式计算即可；

（2）乘以分母利用平方差公式计算即可；

（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）原式

．

【点睛】

本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．