初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式优秀一课一练

第16章重点突破训练：二次根式类型举例

典例体系（本专题56题29页）

考点1：二次根式有意义的条件

典例：（2020·南通市启秀中学八年级月考）已知实数满足，求的值．

方法或规律点拨

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）二次根式中，字母x的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）要使二次根式有意义，则x应满足（）

A． B． C． D．

3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）要使二次根式有意义，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

4．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点P（x，y）在函数的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（2021·呼和浩特市剑桥中学九年级期末）函数的图象上的点一定在第（）象限

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（2021·全国八年级）若代数式有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3

7．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）完成下列问题：

（1）已知，为实数，且，求的值．

（2）若是关于的方程的根，求的值．

考点2：二次根式的混合运算

典例：（2021·全国八年级）计算：（1）

（2）

（3）

（4）

方法或规律点拨

本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，零指数幂，化简绝对值，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．

巩固练习

1．（2021·江苏南京市·八年级期末）计算．

2．（2021·北京顺义区·八年级期末）计算：

3．（2021·北京平谷区·八年级期末）计算：

4．（2020·福建省宁化第五中学八年级月考）计算：（1）

（2）

5．（2020·山东济南市·垛石镇中学八年级月考）计算：（1）

（2）

6．（2020·上海市澧溪中学八年级月考）计算：．

7．（2020·江苏省苏州工业园区青剑湖学校八年级期中）计算

（1）；

（2）；

（3）．

8．（2020·全国八年级期中）计算

（1）

（2）

9．（2020·福建三明市·八年级期中）（1）；

（2）．

10．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学八年级月考）计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

11．（2020·南通市启秀中学八年级月考）已知，的整数部分为，小数部分为，求的值．

考点3：二次根式在分式化简求值中的应用

典例：（2020·盘锦市双台子区第一中学九年级月考）先化简，再求值：，其中

方法或规律点拨

本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的混合运算法则、0指数幂、负指数幂、二次根式的化简等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

1．（2020·江苏泰州市·九年级月考）先化简，再求值：，其中．

2．（2020·厦门大学附属科技中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．

3．（2020·株洲景炎学校九年级期中）先化简，再求值：，其中

4．（2020·张家港市梁丰实验学校九年级期中）先化简，再求值：，其中．

5．（2020·四川师范大学实验外国语学校）先化简，再求值，其中

6．（2020·河南省洛阳市孟津县会盟第一初级中学九年级月考）先化简再求值，其中x＝，y＝．

7．（2021·上海九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．

8．（2020·山东大学附属中学九年级其他模拟）先化简，再求值：，其中.

9．（2021·上海九年级专题练习）先化简，再求值：，其中x＝．

考点4：二次根式比较大小

典例：（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：

＝＝；

＝＝；

＝＝＝2﹣；…则：

（1）＝　　；＝　　；

（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝　　；

（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．

方法或规律点拨

本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．

巩固练习

1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）

（1）①________；

②__________；

③_________．

（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．

2．（2020·成都西川中学八年级月考）计算：

（1）比较和的大小．

（2）求的最大值．

4．（2020·河南郑州市第七初级中学八年级月考）比较大小：______________   (填“>”、“=”或“<”)．

5．（2020·河北唐山市·八年级期中）琪琪的作业中出现了如下解题过程：

解答下列问题：

（1）以上解题过程中，从第几步开始出现了错误？

（2）比较与的大小，并写出你的判断过程.

6．（2019·太原市第五十三中学校八年级月考）比较大小：与．

7．（2018·上海市青云中学八年级期中）解不等式：<

8．（2020·辽宁大连市·七年级期末）一个长方形的长宽之比为，面积为．

（1）求长方形的长与宽．

（2）将这个长方形的长减少，宽增加后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断的大小，并说明理由．

9．（2020·安徽滁州市·龙集九年制学校八年级期中）比较大小：

①_____

②___

10．（2020·安徽滁州市·定远县第二初级中学八年级月考）试比较与的大小．

11．（2019·安徽阜阳市·八年级期中）3的小数部分为m，3+的小数部分为n，求（m-3）（n+2）的值．

12．（2020·山西八年级月考）阅读下列材料并回答问题．我们知道，，，…，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，和互为有理化因式．根据互为有理化因式的积是有理数，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如：．请解答下列问题：

（1）分母有理化的结果是；分母有理化的结果是；

（2）计算：；

（3）若实数，，判断和的大小，并说明理由．

13．（2019·山西八年级月考）综合与探究：

（1）计算判断：（计算并判断大小，填写符号：“>”“<”或“=”）

①当，时，_____；

②当，时，_____；

③当，时，______；

④当，时，______；

⑤当，时，______；

⑥当，时，_______；

…

（2）归纳猜想：猜想并写出关于与（，是常数，且，）之间的数量关系；

（3）探究证明：请补全以下证明过程：

证明：根据一个实数的平方是非负数，可得，

∴，

∵，，

…

（4）实践应用：要制作面积为的长方形（或正方形）框架，直接利用探究得出的结论，求出框架周长的最小值．

考点5：二次根式的应用

典例：（2020·湖北随州市·八年级期末）阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：……②（其中）

（1）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积；

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．

方法或规律点拨

本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．

巩固练习

1．（2020·福建三明市·八年级期中）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2．如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）

2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？

海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．

我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．

请你利用公式解答下列问题．

（1）在中，已知，，，求的面积；

（2）计算（1）中的边上的高．

3．（2020·安徽安庆市·八年级期中）观察下列各式，回答问题：①；②；③…．

（1）根据上面三个等式提供的信息，写出第四个等式　　；

（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明你的结论．

4．（2020·衡阳市逸夫中学）已知．

（1）求代数式的值；

（2）求代数式的值．

6．（2020·广西玉林市·八年级期末）已知长方形的长，宽.

(1)求长方形的周长；

(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．

7．（2020·全国八年级单元测试）阅读材料：

小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索：

设(其中a、b、m、n均为整数),则有.

∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n均为正整数）

(1)，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；

(2)当a=7,n=1时，填空：7+=（+）2

(3)若，求a的值.

8．（2020·河南周口市·八年级期末）一个三角形的三边长分别为．

（1）求它的周长（要求结果是最简二次根式）；

（2）请你给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．

9．（2020·陕西渭南市·八年级期末）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.求：

（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

（2）长方体盒子的体积．

10．（2020·山西吕梁市·八年级期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：

有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积？

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．

11．（2018·辽宁抚顺市·七年级期中）如图，某农场拟建两间长方形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留m宽的门垂直于墙的边AD的长为m，平行于墙的边AB的长为m，那么拟建墙体所需要的材料(不包括门)总长为多少m．(精确到0.1m)