高中数学北师大版必修22.2圆的一般方程集体备课ppt课件

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1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_____________________________才表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
2．下列方程中表示圆的是(　　)A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋9＝0[解析]　二元二次方程若表示圆，须满足x2、y2的系数相同，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.应选D．
4．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝_____．
5．已知圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是__________，距离最远的点的坐标是__________．
命题方向1　⇨二元二次方程的曲线与圆的关系
　　　　　下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0；(5)x2＋y2＋20x＋62＝0．[思路分析]　解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般方程的特征．
[解析]　(1)因为x2，y2的系数不相等，所以不能表示圆．(2)因为方程中含有xy项，所以方程不能表示圆．(3)根据方程表示圆的条件D2＋E2－4F>0知(－2)2＋(－4)2－4×10＜0，所以方程不能表示圆．(4)因为方程2x2＋2y2－4x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，所以方程表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆．(5)因为方程x2＋y2＋20x＋62＝0可化为(x＋10)2＋y2＝64，所以方程表示以(－10,0)为圆心，以8为半径的圆．
『规律总结』　对于判断二元二次方程是否表示圆的题目，通常采用以下方法：(1)首先看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式，若不具备这种形式则不表示圆，若具备这种形式则再进行判断．(2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足，若满足，则表示圆；若不满足，则不表示圆．(3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法，它可以直接看出圆心坐标和半径．
〔跟踪练习1〕方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　)A．2、4、4　　　B．－2、4、4C．2、－4、4D．2、－4、－4[解析]　圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4．展开得x2＋y2－4x－4y＋4＝0．∴a＝－2，b＝4，c＝4．
命题方向2　⇨利用待定系数法求圆的一般方程
　　　　　求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．[思路分析]　设圆的一般方程，根据已知条件建立关于参数D，E，F的方程组，解方程组求出D，E，F的值，即可得到圆的方程．
『规律总结』　1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．2．用待定系数法求圆的一般方程分三步：(1)设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)根据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．
〔跟踪练习2〕求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且与x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；②根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；③将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
　　　　　等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
〔跟踪练习3〕已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线与圆相交所得弦PQ的中点M的轨迹方程．
　　　　　已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．[错解]　因为点A(a,2)在圆的外部，所以a2＋22－2a2－3×2＋a2＋a>0解得a>2故所求a的范围为(2，＋∞)．[辨析]　上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”．
『规律总结』　对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的前提下，它才表示圆.
课 时 作 业 学 案