2020-2021学年2.2圆的一般方程学案及答案

《直线与圆》变式题

1.（北师大版必修2 第93 页A组第1题）

已知点，求直线的斜率.

变式1：已知点，则直线的倾斜角是（  ）

A.                B.               C.              D.

解：∵，∴，∵，∴，故选（C）.

变式2：（2006年北京卷）若三点共线，则的值等于    .

解：∵、、三点共线，∴，∴，∴，∴.

变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.

解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，∴，∴，∴或.由，得，∴，∴，∴直线的斜率为.

2.（人教A版必修2 第111页A组第9题）

求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（  ）

A.       B.      C.      D.

解：令得，∴直线在轴上的截距为；令得，∴直线在轴上的截距为，故选（B）.

变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是        .

解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为或，即或.

变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.

解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.

3.（人教A版必修2 第124页A组第3题）

求直线与坐标轴围成的三角形的面积.

变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是        .

解：设所求直线方程为，依题意有，

∴（无解）或，解得或.

∴直线的方程是或.

变式2：（2006年上海春季卷）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则△OAB面积的最小值为        .

解：设直线的方程为，

则，当且仅当即时取等号，∴当时，有最小值4.

变式3：已知射线和点，在射线上求一点，使直线与及轴围成的三角形面积最小.

解：设，则直线的方程为.令得，∴

，当且仅当即时取等号，∴当为（2，8）时，三角形面积最小.

4.（北师大版必修2 第117页A组第10题）

求过点，且与直线平行的直线的方程.

变式1：（2005年全国卷）已知过点和的直线与直线平行，则的值为（  ）

A.0                 B.-8                C.2                 D.10

解：依题意有，解得，故选（B）.

变式2：与直线平行，且距离等于的直线方程是        .

解：设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.

变式3：已知三条直线不能构成三角形，求实数的取值集合.

解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.

5.（北师大版必修2 第117页A组第7题）

若直线和直线垂直，求的值.

变式1：（1987年上海卷）若直线与直线平行但不重合，则等于（  ）

A.-1或2            B.-1                C.2                D.

解：∵，∴且，∴且，解得，故选（B）.

变式2：（2005年北京春季卷）“”是“直线与直线相互垂直”的（  ）

A.充分必要条件                          B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件                      D.既不充分也不必要条件

解：由或，知由可推出，但由推不出，故是的充分不必要条件，故选（B）.

变式3：设直线与圆相交于点、两点，为坐标原点，且，求的值.

解：∵圆经过原点，且，∴是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线上，∴.

6.（人教A版必修2 第110页A组第3题）

已知，，求线段的垂直平分线的方程.

变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（  ）

A.   B.     C.   D.

解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵，∴，∵的中点为（1，1），∴直线的方程是即，故选（B）.

变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是          .

解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.

变式3：求点关于直线的对称点的坐标.

解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，∴.

7.（北师大版必修2 第118页B组第2题）

光线自点射到点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.

变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是        .

解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，∴反射光线所在直线的方程是或，即或.

变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（  ）

A.             B.            C.           D.

解：用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.

变式3：已知点，在直线上求一点P，使最小.

解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.

设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.

8.（人教A版必修2第144页A组 3）

求以为圆心，并且与直线相切的圆的方程.

变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（  ）

A.或                     B.或

C.或                   D.或

解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或，故选（A）.

变式2：（2006年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为        .

解：∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.

变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为，则，

解得或，∴圆的方程为或.

9.（人教A版必修2 第144页 A组 第5题）

求直线被圆截得的弦的长.

变式1：（1999年全国卷）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（  ）

A.                B.               C.                D.

解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选（C）.

变式2：（2006年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则        .

解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.

变式3：已知圆，直线.

（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.

解：（1）∵直线恒过定点，且，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.

（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于时，直线被圆截得的弦长最小，此时，∴所求直线的方程为即.

10.（北师大版必修2第117页A组 第14题）

已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

变式1：（2006年安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（  ）

A.      B.      C.      D.

解：依题意有，解得.∵，∴，故选（A）.

变式2：（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是          .

解：依题意有，解得，∴的取值范围是.

变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.

11.（北师大版必修2第101页例8）

判断圆与圆的位置关系，并画出图形.

变式1：（1995年全国卷）圆和圆的位置关系是（  ）

A.相离              B.外切               C.相交             D.内切

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交，故选（C）.

变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是          .

解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.

变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.

12.（人教A版必修2 第145页B组第2题）

已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

变式1：（2006年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（  ）

A.36                B.18                C.             D.

解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选（C）.

变式2：已知，，点在圆上运动，则的最小值是        .

解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.

变式3：已知点在圆上运动.

（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.

解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.

13.（人教A版必修2第135页B组第3题）

已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

变式1：（2006年四川卷）已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（  ）

A.                B.               C.             D.

解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选（B）.

变式2：（2004年全国卷）由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是          .

解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.

变式3：（2003年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

解：设动点的坐标为.由，得，

化简得.

当时，化简得，整理得；

当时，化简得.

所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当时，点的轨迹是轴.

14.（人教A版必修2第133页例5）

已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（  ）

A.                      B.

C.                    D.

解：设.∵，∴，

∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，故选（C）.

变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是          .

解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.

变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.

15.（人教A版必修2第144页练习第3题）

某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？

变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低

        时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）

解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.

∵圆经过点（10，0），（0，4），∴，解得.

∴圆的方程是.  令，得.

故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.

变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约

      ，台风将影响城，持续时间约为      .（结果精确到0.1）

解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.

依题意有，解得.

∴.

∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.

变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.

解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.