高中数学北师大版必修22.2圆的一般方程导学案

单元检测(七)  直线和圆的方程

(满分:150分  时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a的值为(    )

A.2               B.-3或1                C.2或0             D.1或0

解析：当a=0时,显然两直线垂直;a≠0时,则,得a=2.故选C.

答案：C

2.集合M={(x,y)|y=,x、y∈R},N={(x,y)|x=1,y∈R},则M∩N等于(    )

A.{(1,0)}                                  B.{y|0≤y≤1}

C.{1,0}                                   D.

解析：y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).

答案：A

3.菱形ABCD的相对顶点为A(1,-2),C(-2,-3),则对角线BD所在直线的方程是 …(    )

A.3x+y+4=0                                 B.3x+y-4=0

C.3x-y+1=0                                  D.3x-y-1=0

解析：由菱形的几何性质,知直线BD为线段AC的垂直平分线,AC中点O在BD上,,故,代入点斜式即得所求.

答案：A

4.若直线经过点M(cosα,sinα),则 ……(    )

A.a2+b2≤1                                            B.a2+b2≥1

C.                                        D.

解析：直线经过点M(cosα,sinα),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有

答案：D

5.当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是(    )

A.(0,-1)              B.(-1,0)              C.(1,-1)                    D.(-1,1)

解析：r2=,

∴当k=0时,r2最大,从而圆的面积最大.

此时圆心坐标为(-1,0),故选B.

答案：B

6.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为(    )

A.30°                B.45°               C.60°                      D.90°

解析：由已知,得圆心为C(5,1),半径为,设过点P作的两条切线的切点分别为M,N,当CP垂直于直线y=x时,l1,l2关于y=x对称,|CP|为圆心到直线y=x的距离,即|CP|=,|CM|=,故∠CPM=30°,∠NPM=60°.

答案：C

7.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无数个,则a的值等于(    )

A.                    B.1                 C.6                   D.3

解析：将z=ax+y化为斜截式y=-ax+z(a>0),则当直线在y轴上截距最大时,z最大.

∵最优解有无数个,∴当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-1,

∴-a=-1,a=1.

答案：B

8.已知直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是(    )

A.(0,1)                                      B.

C.(,1)∪(1,)                           D.(1,)

解析：结合图象,如右图,

其中α=45°-15°=30°,β=45°+15°=60°.

需a∈(tan30°,1)∪(1,tan60°),

即a∈(,1)∪(1,).

答案：C

9.把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为(    )

A.3或13              B.-3或13               C.3或-13                D.-3或-13

解析：直线x-2y+λ=0按a=(-1,-2)平移后的直线为x-2y+λ-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的距离,求得λ=13或3.

答案：A

10.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是(    )

A.                     B.                 C.1                  D.2

解析：由题中条件知k=1,m=-1,易知区域面积为.

答案：A

11.两圆与的位置关系是(    )

A.内切                   B.外切               C.相离                D.内含

解析：两圆化为标准式为(x+3)2+(y-4)2=4和x2+y2=9,圆心C1(-3,4),C2(0,0).

两圆圆心距|C1C2|=5=2+3.∴两圆外切.

答案：B

12.方程=k(x-3)+4有两个不同的解时,实数k的取值范围是(    )

A.                B.(,+∞)           C.()              D.

解析：设y=,其图形为半圆;直线y=k(x-3)+4过定点(3,4),由数形结合可知,当直线y=k(x-3)+4与半圆y=有两个交点时,.

∴选D.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为__________.

解析：作出可行域如图所示.

当直线z=2x-y过顶点B时,z达到最大,代入得z=9.

答案：9

14.在y轴上截距为1,且与直线2x-3y-7=0的夹角为的直线方程是_________.

解析：由题意知斜率存在,设其为k,则直线方程为y=kx+1.

则.解得k=5或.

∴直线方程为y=5x+1或y=,

即5x-y+1=0或x+5y-5=0.

答案：5x-y+1=0或x+5y-5=0

15.设A(0,3),B(4,5),点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是________,此时P点坐标是_______.

解析：点A关于x轴的对称点为A′(0,-3),

则|A′B|=4为所求最小值.

直线A′B与x轴的交点即为P点,求得P(,0).

答案：4  (,0)

16.已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:

①对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;

②对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;

③对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;

④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.

其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)

解析：圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l:kx-y=0的距离

=|sin(φ+θ)|(其中tanφ=k)

≤1=r,

即d≤r,故②④正确.

答案：②④

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)已知△ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:

(1)AC边上的高BD所在直线的方程;

(2)BC的垂直平分线EF所在直线的方程;

(3)AB边的中线的方程.

解：(1)易知kAC=-2,∴直线BD的斜率kBD=.又BD直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD的方程为x-2y+4=0.

(2)∵kBC=,

∴kEF=.

又线段BC的中点为(,2),

∴EF所在直线的方程为y-2=.

整理得所求的直线方程为6x+8y-1=0.

(3)∵AB的中点为M(0,-3),

∴直线CM的方程为.

整理得所求的直线方程为7x+y+3=0(-1≤x≤0).

18.(本小题满分12分)已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且截直线l2:x-y=0的弦长为2,求圆C的方程.

解：∵圆心C在直线l1:x-3y=0上,

∴可设圆心为C(3t,t).

又∵圆C与y轴相切,

∴圆的半径r=|3t|.

∴,解得t=±1.

∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.

∴所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

19.(本小题满分12分)已知等边△ABC的边AB所在的直线方程为x+y=0,点C的坐标为(1,),求边AC、BC所在的直线方程和△ABC的面积.

解：由题意,知直线AC、BC与直线AB均成60°角,设它们的斜率为k,则,解得k=0或k=.故边AC、BC所在的直线方程为y=,y=x,如图所示,故边长为2,高为.

∴S△ABC=.

20.(本小题满分12分)圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在P点的切线斜率为1,试求圆C的方程.

解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

将P、Q、R的坐标代入,得

∴圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为.

又∵kCP=-1,

∴k=-3.

∴圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.

21.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

解法一:设点M的坐标为(x,y),

∵M为线段AB的中点,

∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),

∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

而kPA=kPB=(x≠1),

∴ (x≠1).

整理,得x+2y-5=0(x≠1).

∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),

∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.

综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

解法二:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM,

∵l1⊥l2,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=

∴

化简,得x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程.

解法三:设M的坐标为(x,y),由l1⊥l2,BO⊥OA,知O、A、P、B四点共圆,

∴|MO|=|MP|,即点M是线段OP的垂直平分线上的点.

∵kOP=,线段OP的中点为(1,2),

∴y-2=(x-1),

即x+2y-5=0即为所求.

22.(本小题满分12分)实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:

(1)的值域;

(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

(3)a+b-3的值域.

解：由题意

易求A(-1,0)、B(-2,0).

由∴C(-3,1).

(1)记P(1,2),kPC<<kPA,即∈(,1).

(2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13.

∴(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17).

(3)令u=a+b-3,即a+b=u+3.

-2<u+3<-1,即-5<u<-4.

∴a+b-3的值域为(-5,-4).