高中数学北师大版必修22.1圆的标准方程授课课件ppt

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人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”圆是完美的图形，我们接下来就学习在平面直角坐标系下有关圆的知识．
1．确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到________的距离等于定长，这个定长称为________，一个圆的____________和________一旦给定，这个圆就被确定下来．2．圆的标准方程(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是__________________________．(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为______________．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2　
2．已知圆的方程(x＋1)2＋(y－1)2＝4，下面的点在圆内的是(　　)A．(1,1)B．(0,1)C．(0,3)D．(2,2)[解析]　代入坐标使方程中“＝”变为“＜”的只有B．
3．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
4．(2018·四川省资阳市高二期中)圆心是(4，－1)且过点(5,2)的圆的标准方程为________________________．
(x－4)2＋(y＋1)2＝10　
(x－2)2＋(y＋3)2＝5　
命题方向1　⇨直接法求圆的标准方程
　　　　　求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[思路分析]　首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
『规律总结』　1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，注意结合圆的几何性质以简化计算过程．2．求圆的标准方程时常用的几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；(3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h满足r2＝d2＋h2．
〔跟踪练习1〕若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1[解析]　两圆关于原点对称，则圆心关于原点对称，半径相等．点(x，y)关于原点对称的点为(－x，－y)，所以圆C的方程为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A．
命题方向2　⇨待定系数法求圆的标准方程
　　　　　求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．[思路分析]　先设出圆的标准方程，由题设列出关于a，b，r的关系式，组成方程组，解方程组求出a，b，r的值代入即得圆的方程．
[解析]　设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．∵圆与坐标轴相切∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0．又圆心在直线5x－3y＝8上∴5a－3b＝8．
『规律总结』　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
〔跟踪练习2〕求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．[思路分析]　用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r．
命题方向3　⇨点与圆的位置关系
　　　　　(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；(2)若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，求实数m的取值范围．[思路分析]　(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．(2)利用点在圆的外部建立不等式求m的取值范围．
『规律总结』　点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
命题方向4　⇨圆的实际应用
　　　　　如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱CD的高度(精确到0.01m)．
[思路分析]　先建立直角坐标系，再求出圆的标准方程，再求C点的纵坐标即可．
『规律总结』　通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合，是解决几何问题的重要方法．其中要特别注意选择适当的坐标系，选择恰当可以使解题过程简化．在通常情况下，使图形中某些线段在坐标轴上，线段的端点或中点在原点，遇到图形中有两条互相垂直的线段，常常选这两条线段所在直线为坐标轴；如果遇到轴对称图形，常常选它的对称轴为坐标轴；如果遇到中心对称图形，常常选它的对称中心为原点．
〔跟踪练习4〕如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
[解析]　以圆拱拱顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．
2．若点P在⊙C内，直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C上任一点，则总有|PA|≤|PQ|≤|PB|．如图，由于|PA|＋|PC|＝|AC|＝|CQ|＜|PC|＋|PQ|∴|PA|＜|PQ|．作CD⊥PQ，垂足为D，则由半径大于半弦知|BC|>|MD|．又Rt△PCD中，|PC|>|PD|∴|PB|>|PM|>|PQ|．故仍有r－|PC|≤|PQ|≤r＋|PC|．
　　　　　已知x，y满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则x2＋y2的取值范围是________________________．
　　　　　已知某圆的圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
[辨析]　错因有二：一是对圆的标准方程理解不够，圆的标准方程应为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25；二是点与圆的位置关系应有三种，可以用代数法，也可以用几何法来判断．
『规律总结』　正确理解并掌握圆的标准方程，理解a，b，r的意义，定点与圆的关系即求点到圆心的距离，判断与圆半径r的关系．
课 时 作 业 学 案