苏科版七年级下册10.4 三元一次方程组导学案

第四讲：三元一次方程组

一、主要内容     

1、三元一次方程及三元一次方程组的概念               

2、三元一次方程组的解法                3、三元一次方程组的应用

二、基本概念

1、三元一次方程及三元一次方程组的概念

1.三元一次方程的定义

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．

要点诠释：

(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．

(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．

2．三元一次方程组的定义

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．

（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．

1、下列方程组中是三元一次方程组的是(   )

    A．    B．    C．    D．

2、三元一次方程组的解法

 解三元一次方程组的一般步骤

(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．

要点诠释：

（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：

（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．

1、解方程组

举一反三：

【变式】解方程组：

2、解方程组

举一反三：

【变式】若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a的值为（　　）

A．1 B．0 C．﹣2 D．4

3、三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤

1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；

 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

 4．解这个方程组，求出未知数的值；

 5．写出答案(包括单位名称)．

要点诠释：

(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

1、购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需　　元．

举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?

三、课堂讲解                            

1、下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）．

    A．    B．    C．    D．

2、若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．

3、解方程组

4、已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．

5、若 ，则x：y：z＝      .

6、甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地公顷可供12头牛吃4周；乙地10公顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?

7、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（　　）

A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元

【达标检测】

一、选择题

1. 下列方程组中是三元一次方程组的是    （  ）.

A．   B．   C．   D．

2. 已知方程，，有公共解，则的值为（  ）.

A. 3     B.4     C.0     D.-1

3. 若==，且a﹣b+c=12，则2a﹣3b+c等于（　　）

A． B．2 C．4 D．12

4．已知代数式，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （  ）.

A．4    B．8   C．62    D．52

5.已知甲、乙、丙三个人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有（  ）．

A．30元    B．33元    C．36元    D．39元

6. 如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（   ）正方体的质量.

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题

7. 若是一个三元一次方程，那么a＝_______，b＝________．

8．已知，则x+2y+z＝________．

9．若x、y的值满足3x﹣y﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则k的值等于　  　．

10．已知，则x:y:z＝________．

11. 如果方程组的解满足方程kx+2y-z＝10，则k＝________．

12.已知方程组，若消去z，得到二元一次方程组________；若消去y，得到二元一次方程组________，若消去x，得到二元一次方程组________．

三、解答题

13．解方程组：．

14. 2021年全国足球甲A联赛的前12轮(场)比赛后，前三名比赛成绩如下表．

问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分?