2021学年10.3 解二元一次方程组学案及答案

第六讲：实际问题与二元一次方程组（二）

一、主要内容     

1、实际问题与二元一次方程组              

2、常见的一些等量关系（二）

二、基本概念

1、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

2、常见的一些等量关系（二）

1. 行程问题

速度×时间=路程.

顺水速度=静水速度+水流速度.

逆水速度=静水速度-水流速度.

2．存贷款问题

利息=本金×利率×期数.

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .

年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

3.数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

4．方案问题

在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．

1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．

 (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；

 (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?

【答案与解析】

解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．

根据题意，得，解得

(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，

根据题意，得60(x+1)+100x＝480．  解得．

举一反三：

【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？

【答案】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．

由题意得，

2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？

【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：

   解得：
 

3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．

【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：

，解方程组，得．

故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．   答：这个两位数为49．

举一反三：

【变式】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（　　）

A．16 B．25 C．52 D．61

【答案】A 

4. 某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：

①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？

②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？

【答案与解析】解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，

根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，可列式为3x+2y=92，

又知5大箱、3小箱共150瓶，故可列式为5x+3y=150，

即列方程组为，解得：，

故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），

②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），  小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以买大箱合算．

举一反三：【变式】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.

【答案】

解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：                    解得：

∴能供全校的5300名学生就餐.

三、课堂讲解                            

1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.

【答案】140.

2、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．

【答案】火车速度是20m/s，火车的长度是200m．

3、某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为多少？

【答案】甲、乙两种贷款的数额分别为20万元、30万元．

4、在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（　　）．

A.20   B.25     C.30     D.35

【答案】B

5、小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？

【答案】21，32．

6、一个两位数十位上的数字是个位上的数字为2倍，若交换十位与个位上的数字，则所得新两位数与原数的和为99，则这个两位数是　　．

【答案】63．

7、一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)

    (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；

    (2)求本次奖金发放的具体方案．

【答案】

(1)技术员工10人，辅助员工5人．

(2)方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元；

   方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元；

   方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元．

8、联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.

【答案】第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；

第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.

【达标检测】

一、选择题

1.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是（　　）

A．24km/h，8km/h           B．22.5km/h，2.5km/h

C．18km/h，24km/h           D．12.5km/h，1.5km/h

2.已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，求这个两位数所列的方程组正确的是（　　）．

Ａ．  Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．

3．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（  ）．

A．     B．

C．      D．

4. 爸爸将3000元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（　　）元．

A．3000×40%×2.79%               B．3000×40%×2.79%×2

C．3000×40%×2.79%×2+3000       D．3000×40%×2.79%×2+3000×40%

二、填空题

5.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是　    　．

6. 甲、乙两人开车，同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇．已知甲每小时比乙多行驶2.5千米，则甲的速度       千米/小时，

乙的速度       千米/小时．

7. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是      颗．

8. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是       岁．

三、解答题

9.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．

(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?

(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?

【答案与解析】

一、选择题

1.B

2.D

3.C

4.A

二、填空题

5.52．

6．27.5；25

7.88；6

8.25；

三、解答题

9. (1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，

根据题意得：，解得．

 (2)A：452×80％＝361.6(元)．B：360+2＝362(元)．

因为361.6＜362，所以在超市A购买更省钱．