专题2.3 整式-多项式（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.3 整式-多项式（知识讲解）
【学习目标】
1． 认识整式的意义及表示方法；
2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
【要点梳理】
要点一、多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
特别说明：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
特别说明：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
特别说明：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
要点二、 整式
单项式与多项式统称为整式．
特别说明：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
　【典型例题】
类型一、多项式的判断
1． 把下列代数式分别填在相应的括号内
，，，，，，，，，．
①单项式：． ②多项式：．
③二次二项式：． ④整式：．
【解析】 根据单项式是数与字母的积，多项式是几个单项似的和，多项式中的每个单项式是多项式的项，单项式与多项式统称整式，可得答案．
解：①单项式：{，， }；
②多项式：{ ，，，，，，}；
③二次二项式：{ ，， }；
④整式：{，，，，，，，，．}
【点拨】本题考查了单项式、多项式的以及整式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】 把下列代数式的代号填入相应的集合括号里．
（A） （B） （C） （D）（E）0
（F） （G） （H） （I）
（1）单项式集合__________； （2）多项式集合____________；
（3）整式集合____________； （4）二项式集合___________；
（5）三次多项式集合__________； （6）非整式集合__________．
【答案】（1）（D），（E）；（2）（A），（B），（C），（F），（G）；（3）（A），（B），（C），（D），（E），（F），（G）；（4）（A），（C），（F）；（5）（A），（G）；（6）（H），（I）
【分析】要根据整式，单项式，多项式的概念和系数或次数的确定方法进行分类．
解：（1）单项式集合（D），（E）；
（2）多项式集合（A），（B），（C），（F），（G）；
（3）整式集合（A），（B），（C），（D），（E），（F），（G）；
（4）二项式集合（A），（C），（F）；
（5）三次多项式集合（A），（G）；
（6）非整式集合（H），（I）
【点拨】主要考查了整式的有关概念和系数次数的确定．
（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式．多项式中的符号，看作各项的性质符号．
（2）单项式的次数：单项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
【变式2】指出下列各式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
x2+y2，﹣x，，10，6xy+1，，m2n，2x2﹣x﹣5，
单项式：{_____} 多项式：{_____} 整 式：{_____}．
【答案】﹣x，10，m2n x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5 ﹣x，10，m2n，x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5
【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解答即可.
解：单项式有：﹣x，10， m2n；
多项式有：x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5；
整式有：﹣x，10， m2n，x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5，
【点拨】本题考查了单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式、多项式、整式的定义.
类型二、多项式的项、项的系数、次数
2．(3m-4)x3-(2n-3)x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式．
【答案】（1）m=，n≠；（2）n=，m=﹣．
【分析】根据多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数.
解：（1）由题意得：3m﹣4=0，且2n﹣3≠0，
解得：m=，n≠；
（2）由题意得：2n﹣3=0，2m+5n=0，且3m﹣4≠0，
解得：n=，m=﹣．
【点拨】本题考查了用学生待定系数法来考查多项式次数概念，掌握多项式相关定义概念是解决此题的关键.
举一反三：
【变式1】已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2-3ab+b2的值.
【答案】-5.
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
【详解】∵（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则a2-3ab+b2=9-18+4=-5．
【点拨】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
【变式2】已知多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-k的值．
【答案】5
【分析】先根据这是三系三项式可求出m的值，再根据一次项的系数为-7可知k、n的值，然后代入求解即可.
解：由题意，得m=3，k=0，-（3n+1）=-7.
解得n=2.
所以m+n-k=3+2-0=5.
【点拨】此题考查的是对多项式定义的理解．几个单项式的和叫做多项式；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；此时，这个单项式的次数是几，就把这个单项式叫做几次项，而且多项式的次数是所有单项式的最高次．
类型三、由多项式的系数求值
3、已知关于x，y的多项式x4+(m+2)xny–xy2+3，其中n为正整数．
（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？
（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？
【答案】（1）n=4，m≠–2；（2）m=–2，n为任意正整数．
【分析】
（1）根据多项式是五次四项式可知n+1=5，m+2≠0，从而可求得m、n的取值；
（2）根据多项式是四次三项式可知：m+2=0，n为任意实数．
解：（1）因为多项式是五次四项式，
所以n＋1＝5，m＋2≠0，
所以n＝4，m≠－2.
（2）因为多项式是四次三项式，
所以m＋2＝0，n为任意正整数，
所以m＝－2，n为任意正整数．
【点拨】本题主要考查的是多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】对于整式（其中m是大于的整数）.
（1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值；
（2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值；
（3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？
【答案】（1）m=1；（2）m=-1，n=-1；（3）n=1，m为大于-2任意整数或m=-1，n≠-1或m=0，n≠4.
【分析】
（1）根据已知条件可得到关于m的方程m+2=3，解方程即可得到m的值；
（2）根据该多项式是关于x的二次单项式，可得到m+2=1，n-1=-2，据此计算即可；
（3）同样的，根据上面的分析方法，结合关于x的二次二项式的特点解答即可.
解：（1）因为n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，所以原多项式变为，所以m=1，即m的值为1.
（2）因为该多项式是关于x的二次单项式，
所以m+2=1，n-1=-2
解得m=-1，n=-1
（3）因为该多项式是关于x的二次二项式，
所以①这一项不存在，原多项式是关于x的二次二项式，
则n-1=0，即n=1，m为大于-2任意整数
②若的次数为1，系数不为-2，原多项式是关于x的二次二项式，
则m=-1，n≠-1
③的次数为2，系数不为3，原多项式是关于x的二次二项式，
则m=0，n≠4.
【点拨】本题考查多项式的次数和多项式的定义，学生们熟练掌握定义即可.
【变式2】已知关于x,y的多项式中不含项,求k的值.
【答案】
【分析】根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答．
解：原式=
∵多项式中不含项
∴=0
∴k=.
【点拨】本题考查了多项式，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．
类型四、由多项式的指数求值
4、已知多项式－x2ym＋1＋xy2－3x3＋6是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2＋n2的值．
【答案】13
【解析】根据多项式次数的定义，可得2+m+1=6，从而可求出m的值，根据单项式的次数的定义结合题意可得2n+2=6，求解即可得到n的值，把m，n的值代入到m2+n2中，计算即可得到求解.
试题解析：根据题意得2＋m＋1＝6，2n＋2＝6
解得：m＝3， n＝2，
所以m2＋n2＝13.
点拨：此题考查多项式，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，还要弄清有几项.
举一反三：
【变式1】已知关于x、y的多项式x2ym+1+xy2–3x3–6是六次四项式，单项式6x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．
【答案】m+n=5
【分析】根据多项式次数的定义可得2+m+1=6，求出m=3，然后再根据单项式次数的定义可得2n+5-m=6，求出n=2，问题得解.
解：∵多项式x2ym+1+xy2–3x3–6是六次四项式，
∴2+m+1=6，解得：m=3，
∵单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
∴2n+5-m=6，解得：n=2，
∴m+n=3+2=5.
【点拨】本题考查了多项式以及单项式的有关概念，注意：多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．
【变式2】已知多项式（a+3）x3﹣xb+x+a是关于x的二次三项式，求ab﹣ab的值．
【答案】15
【分析】根据题意得出a+3=0，b=2，求出a= -3，b=2，代入ab﹣ab求解即可．
解：根据题意得a+3=0、b=2，
则a=﹣3、b=2，
∴原式=（﹣3）2﹣（﹣3）×2，
=9+6，
=15.
【点拨】本题考查了求代数式的值的应用，关键是根据题意求出a、b的值．
类型五、按某个字母升幂（降幂）排列
5、已知多项式-3x2ym+1+x3y-3x4-1是五次四项式，且单项式3x2ny3-m与多项式的次数相同．
(1)求m、n的值；
(2)把这个多项式按x的降幂排列．
【答案】(1)m=2，n=2；(2)按x的降幂排列为-3x4+x3y-3x2y3-1．
【分析】
（1）根据已知得出m+1=3，2n+3-m=5，求出即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
解：(1)∵多项式-3x2ym+1+x3y-3x4-1是五次四项式，且单项式3x2ny3-m与多项式的次数相同，
∴m+1=3，2n+3-m=5，
解得：m=2，n=2；
(2)按x的降幂排列为-3x4+x3y-3x2y3-1．
【点拨】本题考查了多项式和单项式的有关内容，能熟记多项式和单项式的次数定义是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】已知多项式
（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；
（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
【答案】（1）；（2）5，xy，
【分析】（1）按的降幂排列：即按照的指数由高到低进行排列即可得到答案；
（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．
解：（1）按x的降幂排列是：
（2）由最高次项为：，所以多项式的次数是5，
它的二次项是xy，常数项是.
【点拨】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】已知多项式，解答下列问题：
（1）把它按的升幂重新排列；
（2）把它按的降幂重新排列；
【分析】（1）按字母x的升幂排列是指按字母x的指数从小到大依次排列；
（2）按字母y的升幂排列指按字母y的指数从小到大依次排列．
解：
解：（1）按x的升幂排列为-7y5+xy3+3x2y2+5x4y+y4x6；
（2）按y的降幂排列为5x4y+3x2y2+xy3+y4x6-7y5．
【点拨】本题考查了多项式的有关定义，按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．
类型六、据要求写出多项式
6、某食品厂打折出售商品，第一天卖出m千克，第二天比第一天多卖出2千克，第三天卖出的是第一天的3倍，求这个食品厂三天一共卖出食品多少千克．
【答案】（5m+2）千克.
【解析】由题意，第二天卖出（m+2）kg，第三天卖出3mkg，由此即可得出答案
解：由题意得：第二天卖出（m+2）kg，第三天卖出3mkg，
∴m+（m+2）+3m=5m+2（千克）．
∴这个食品厂三天一共卖出食品为（5m+2）千克
举一反三：
【变式1】老师让同学们写一个三次四项式，下面是甲、乙、丙三位同学的答案，他们写得对吗？如果不对，请指出原因．
甲：；乙：；丙：.
【答案】甲和乙写得不对，丙写得对．甲写的是一个三次三项式，乙写的是一个四次四项式．
【分析】根据多项式的概念可知三次四项式中单项式的最高次数是3，单项式项数式4.
解：根据多项式的定义可得：甲写的是一个三次三项式，乙写的是一个四次四项式，乙写的是三次四项式．故甲和乙写得不对，丙写得对．
【点拨】本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的概念.
【变式2】写出一个只含有字母的二次三项式，并求当时，这个多项式的值.
【答案】，7
【分析】按要求先写一个只含有x的二次三项式，然后将x=-2代入求值即可.
解：假设此二次三项式为：，
当时，=.
【点拨】本题主要考查了多项式的求值，正确写出合理的多项式是解题关键.
类型七、整式的判断
7、把下列代数式的序号填入相应的横线上
①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦
（1）单项式　 　； （2）多项式　 　； （3）整式　 　．
【答案】（1）③⑤⑦；（2）①②；（3）①②③⑤⑦．
【分析】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
解：（1）单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
（2）多项式 ①②；
故答案为：①②；
（3）整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
【点拨】考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．
举一反三：
【变式1】把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，， ， ， 5，﹣xy，a2﹣2ab+1．

代数式
整式
单项式

多项式


非整式


【答案】单项式：3a，5，﹣xy；多项式：，a2﹣2ab+1；非整式：，．
【分析】根据整式，单项式，多项式的概念进行分类即可．单项式是字母和数的乘积，多项式是若干个单项式的和，单项式和多项式统称为整式．
解：单项式：3a，5，﹣xy；
多项式：，a2﹣2ab+1；
非整式：，．
【点拨】主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【变式2】指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①；②-x；③；④10；⑤6xy+1；⑥；⑦m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩
单项式：____________________________；多项式：________________________；
整式：________________________；
【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨．
【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类．
解：单项式有：-x，10，m2n，a7；
多项式有：，，6xy+1，2x2-x-5；
整式有：，-x，，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7．
【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．
类型八、数字类规律探索
8、你会求的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：



（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到=________
利用上面的结论，求
（2）的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】分析：（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案；
（2）先变形，再根据规律得出答案即可；
（3）先变形，再根据算式得出即可．
详解：（1）（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1） =a2019﹣1．
故答案为：a2019﹣1；
（2）22018+22017+22016+…+22+2+1
=（2﹣1）×（22018+22017+22016+…+22+2+1）
=22019﹣1
故答案为：22019﹣1；
（3）∵
∴
∴．
点拨：本题考查了整式的混合运算的应用，能根据题目中的算式得出规律是解答此题的关键，难度适中．
举一反三：
【变式1】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．

【答案】（1）3；（2）第5个台阶上的数x是﹣5；应用：从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，
解得：x=﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1﹣2﹣5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【点拨】本题考查了规律题——数字（图形）的变化类，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
【变式2】观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，
并证明.
【答案】（1）；（2），见解析.
【分析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可.
解：（1）第6个等式：
（2）
证明：∵右边左边.
∴等式成立
【点拨】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
类型九、图形类规律探索
9、学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：
碟子的个数
碟子的高度(单位：cm)
1
2
2
2+1.5
3
2+3
4
2+4.5
…
…


(1)当桌子上放有x(个)碟子时，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)；
(2)分别从三个方向上看，其三视图如上图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
【答案】（1）1.5x+0.5;(2)21.5cm.
【分析】
（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）；
（2）根据三视图得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案．
解：（1）由题意得：2+1.5（x﹣1）=1.5x+0.5；
（2）由三视图可知共有12个碟子，∴叠成一摞的高度=1.5×12+0.5=18.5（cm）．
答：叠成一摞后的高度为18.5cm．
【点拨】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．

举一反三：
【变式1】某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌为什么？

【答案】（1）第一种方式坐的人数：4n+2，第二种方式坐的人数：2n+4；（2）选第一种方式，理由见解析.
解：（1）第一种中，有一张桌子时有6人，后边多一张桌子多4人．
即有张桌子时，有．
第二种中，有一张桌子时有6人，后边多一张桌子多2人，即．
（2）打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．
因为当时，用第一种方式摆放餐桌：，
用第二种方式摆放餐桌：，
所以选用第一种摆放方式．
【变式2】（阅读理解）
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：

（尝试操作）
(1)如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．

（归纳发现）
(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度






所有不同图案的个数



　 　
　 　
　 　
【答案】(1)见解析；(2)5，8，13.
【分析】
(1)根据已知条件作图可知时，所有图案个数5个；
(2)推出长度为50cm时的所有图案，继而根据已知猜想60cm时所有图案的个数即可.
解：
(1)如图：
根据作图可知时，所有图案个数5个；

(2)时，如图所示，所有图案个数8个；
同理，时，所有图案个数13个，
故答案为5，8，13.
【点拨】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．