专题2.5 整式的加减-合并同类项（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题2.5  整式的加减-合并同类项（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；

2. 掌握同类项的有关应用；

3. 体会整体思想即换元的思想的应用．

【要点梳理】

【要点梳理】

要点一、同类项

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

特别说明： 

(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．

(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．

要点二、合并同类项

1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．

特别说明：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：

(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．

(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.

【典型例题】

类型一、同类项概念识别

1．1．下列各题中的两项是不是同类项？为什么？

(1) 与；             (2)与；

(3)与；             (4)与；

(5)与.

【答案】(1) 与是同类项，理由见解析； (2) 与不是同类项，理由见解析； (3) 与是同类项，理由见解析； (4) 与是同类项，理由见解析； (5) 与是同类项，理由见解析；

【分析】根据同类项的定义逐个进行分析即可.

解：(1) 与是同类项，

因为所含字母相同，都有、，而且、的次数都是1，即相同字母的指数分别相同.

(2) 与不是同类项，

因为虽然字母相同，但是相同字母的次数不相同.

(3) 与是同类项，

因为只有系数不同，完全符合同类项的两个标准.

(4) 与是同类项，

因为它们只有字母的排列顺序不同，

所含字母及相同字母的次数都分别相同.

(5) 与是同类项，

因为两项都只含有字母，并且的次数都是1，与都是系数，10的次数不影响它们是同类项.

【点拨】本题考查了同类项的定义，熟知定义是解题关键.

举一反三：

【变式1】 下列各组中的两项是不是同类项?为什么?

(1)与.              （2）与.       (3)与.

(4)与.           （5）与与.

【答案】(1)不是同类项；(2)不是同类项；(3)是同类项；(4)是同类项；(5)不是同类项.(6) 是同类项.

【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）

【详解】

(1)中两项所含相同的字母的指数不同,不是同类项.

(2)中两项所含字母不同,不是同类项.

(3)中两项符合同类项定义,是同类项.

(4)中两项符合同类项定义,是同类项.

(5)中两项不含相同字母,不是同类项.

(6)中两项是常数项,是同类项.

【点拨】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握.

【变式2】如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．

（1）求a的值；

（2）如果它们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2017的值．

【答案】（1）3（2）-1

试题分析：（1）根据同类项的概念可得关于a 的方程，解方程即可得；

（2）由已知可得2m-4n=0，从而得m-2n=0，代入进行计算即可得.

试题解析：（1）∵关于x、y的两个单项式2mxay3和﹣4nx3a﹣6y3是同类项，

∴a=3a﹣6，

解得：a=3；

（2）∵2mxay3+（﹣4nx3a﹣6y3）=0，

则2m﹣4n=0，

即m﹣2n=0，

∴（m﹣2n﹣1）2017=（﹣1）2017=﹣1．

【变式3】 在代数式－x2＋8x－5＋x2＋6x＋2中，－x2和________是同类项，8x和________是同类项，2和________是同类项．

【答案】＋x2    ＋6x    －5   

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出答案．

【详解】

根据同类项的定义：在代数式-x2+8x-5+x2+6x+2中，-x2和x2是同类项，8x和+6x是同类项，2和-5是同类项．

故答案为：x2，+6x，-5．

【点拨】本题考查了同类项的知识，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．

类型二、同类项中方程思想

2．如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．

（1）求a的值；

（2）如果它们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2017的值．

【答案】（1）3（2）-1

试题分析：（1）根据同类项的概念可得关于a 的方程，解方程即可得；

（2）由已知可得2m-4n=0，从而得m-2n=0，代入进行计算即可得.

试题解析：（1）∵关于x、y的两个单项式2mxay3和﹣4nx3a﹣6y3是同类项，

∴a=3a﹣6，

解得：a=3；

（2）∵2mxay3+（﹣4nx3a﹣6y3）=0，

则2m﹣4n=0，

即m﹣2n=0，

∴（m﹣2n﹣1）2017=（﹣1）2017=﹣1．

举一反三：

【变式1】单项式与单项式的和仍是单项式，求这两个单项式的和．

【答案】

【分析】根据题意，可知与单项式为同类项，列方程可求出，的值，然后求出两个单项式的和即可．

 解：由题意得，，

解得：，

则．

【点拨】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是根据题意判断两个单项式为同类项，求出，的值．

【变式2】 若8x2my3与﹣3xy2n是同类项，求2m﹣2n的值．

【答案】-2

根据同类项的定义列出方程，求出m、n的值后再代入求值即可.

解：∵8x2my3与﹣3xy2n是同类项，

∴2m=1，2n=3，

∴，

∴2m﹣2n=1﹣3=﹣2．

【变式3】如果单项式2axmy与单项式5bx2m﹣3y都是关于x、y的单项式，并且它们是同类项．

（1）求m的值；

（2）若2axmy+5bx2m﹣3y=0，且xy≠0，求（2a+5b）2017+m的值．

【答案】（1）m=3；（2）0．

【分析】（1）利用同类项的概念得出m=2m-3，进而求出即可；
（2）利用单项式的和为0，得出其系数是互为相反数，进而得出答案．

【详解】

（1）∵单项式2axmy与单项式5bx2m﹣3y是关于x，y的单项式，并且它们是同类项，

∴m=2m﹣3，

解得：m=3；

（2）∵单项式2axmy+5bx2m﹣3y=0，且xy≠0，

∴2a+5b=0，m=3

∴（2a+5b）2017+2m=02023=0．

【点拨】本题考查了同类项与单项式，解题的关键是熟练的掌握同类项的概念与单项式的性质.

类型三、合并同类项

3、去括号，合并同类项：

（1）（x-2y）-（y-3x）；

（2）3a2−[5a−(a−3)+2a2]+4.

【答案】（1）4x-3y；（2）a2-a+1．

【分析】（1）去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项得法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变；

（2）去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项得法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变.

【详解】

（1）（x-2y）-（y-3x）=x-2y-y+3x=4x-3y；

（2）3a2−[5a−(a−3)+2a2]+4=3a2−(5a−a+3+2a2)+4=3a2−5a+a-3-2a2+4=a2-a+1．

【点拨】解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序．

举一反三：

【变式1】化简：

（1）9a－6a                    （2）－4x+2y－5x－8y

（3）

【答案】（1）3a；（2）－9x－6y；（3）

【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果；
（2）原式合并同类项即可得到结果；

（2）原式去括号合并即可得到结果．

 解：（1）9a－6a

=3a

（2）－4x+2y－5x－8y

=－9x－6y

（3）

=

=

【点拨】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【变式2】合并同类项：

（1）      （2）

【答案】(1)4m-n;(2)

【分析】（1）合并同类项即可得到答案；

（2）将多项式合并同类项.

【详解】

（1），

（2）.

【点拨】此题考查整式的加减法计算，将多项式中的同类项合并.

【变式3】已知:A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+ab+a+3.

(1)当a=-1,b=10时,求4A-(3A-2B)的值;

(2)若a、b互为倒数,求(1)中代数式的值.

【答案】(1)-45;(2)10

【分析】(1)把A与B代入原式,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值;

(2)由a与b互为倒数得到ab=1,代入原式计算即可得到结果.

解：(1)∵A=2a2+3ab-2a-1,B=-a2+ab+a+3,

∴4A-(3A-2B)

=A+2B

=2a2+3ab-2a-1-2a2+2ab+2a+6

=5ab+5,

当a=-1,b=10时,原式=5×(-1)×10+5=-45.

(2)由a、b互为倒数得ab=1,

则原式=5ab+5=5×1+5

=10.

【点拨】此题考查了整式的加减、合并同类项,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

类型四、合并同类项中整体思想（拓展题）

4、．阅读材料：

“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．

尝试应用：

（1）把看成一个整体，合并的结果是_________．

（2）已知，求的值．

拓广探索：

（3）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）-2018；（3）6

【分析】（1）把看做一个整体，合并即可得到结果；

（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．

 解：（1）．

（2）∵，

∴

（3）∵，

∴

=a-c+2b-d-2b+c

=a-d

=a-2b+2b-c+c-d

=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）

=2-5+9

=6．

【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

尝试应用：

（1）把看成一个整体，合并的结果是             ．

（2）已知，求的值；

拓广探索：

（3）已知，求的值．

【答案】（1）﹣（a﹣b）2；（2）﹣9；（3）7

【分析】（1）利用整体的思想进行合并即可；

（2）先对进行变形，然后整体代入即可；

（3）首先根据题意求出的值，然后整体代入即可．

 解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2＋2（a﹣b）2＝（3﹣6＋2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；

故答案为：﹣（a﹣b）2；

（2）∵x2﹣2y＝4，

∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9；

（3）∵a﹣2b＝6，2b﹣c＝﹣8，c﹣d＝9，

∴a﹣c＝﹣2，2b﹣d＝1，

∴原式＝﹣2＋1﹣（﹣8）＝7．

【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．

【变式2】把（a﹣b）看作一个整体，合并同类项：＝_____．

【答案】

【分析】根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变，可得答案．

   解：，

故答案为：．

【点拨】本题考查合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键．

【变式3】把 看作一个整体，合并同类项= _______。

【答案】2(a-b)

【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案.

解：7（a-b）-3（a-b）-2（a-b）=（7-3-2）（a-b）=2（a-b），

故答案为：2（a-b）．

【点拨】本题考查了合并同类项，把（a-b）看作一个整体合并是解题关键.