高中数学2.2 直线、平面平行的判定及其性质练习题

2-2-3直线与平面平行的性质

一、选择题

1．已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b(　　)

A．a∥α，b∥α　　　　　 B．a⊥c，b⊥c

C．a、b与c成等角   D．a∥c，b∥c

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(　　)

A．AC∥截面BA1C1   B．AC与截面BA1C1相交

C．AC在截面BA1C1内   D．以上答案都错误

3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．异面   D．相交或异面

4．已知直线m∥直线n，直线m∥平面α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是(　　)

A．平行  B．相交

C．异面   D．以上均有可能

5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．平行或异面

6．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面   B．平行

C．相交   D．以上均有可能

7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线(　　)

A．至少有一条   B．至多有一条

C．有且只有一条   D．没有

8．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．不确定

9．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是(　　)

A．梯形   B．菱形

C．平行四边形   D．任意四边形

10．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　　)

A．1   B.

C.   D.

二、填空题

11．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是________．

12．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点B、D、A1，且α与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与B1D1的位置关系是________．

13．如图所示，AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，＝2，则＝________.

14．如下图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，＝________.

三、解答题

15．求证，如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与相交平面的交线平行．

[分析]　写出已知、求证，画出图形．由于图形比较单一，要添加辅助平面，利用线面平行性质定理先得线线平行，再由平行公理证明．

[解析]　已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.

求证：a∥b.

16．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：EFHG是一个平行四边形．

17．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F、G.

求证：FG∥平面ADD1A1.

18．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．

详解答案

1[答案]　D

2[答案]　A

[解析]　∵AC∥A1C1，

又∵AC⊄面BA1C1，

∴AC∥面BA1C1.

3[答案]　B

[解析]　这是线面平行性质定理的条件，则l∥m.

4[答案]　A

[解析]　∵m∥α，α∩β＝a，m⊂β，

∴m∥a.又m∥n，∴n∥a.

5[答案]　C

[解析]　∵a∥α，a⊂β，α⊂β＝b，

∴a∥b.

∴α内与b相交的直线与a异面．

6[答案]　B

[解析]　∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄ABC，

∴A1B1∥平面ABC.

又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.

又AB∥A1B1，∴DE∥AB.

7[答案]　B

[解析]　设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，a⊂平面β，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，

那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．

8[答案]　A

[解析]　∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，

∴EH∥平面BCD.

∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴EH∥BD.

9[答案]　A

[解析]　由性质定理得截面四边形有一组对边平行．

10[答案]　C

[解析]　由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝AB1＝.

11[答案]　平行或相交

12[答案]　平行

13[答案]　2

[解析]　如图，连接AD交平面α于E点，连接ME和NE.

∵平面ACD∩α＝ME，CD∥α，CD⊂平面ACD，

∴CD∥ME.∴＝.

同理，＝，

∴＝.

∴＝2.

14[答案]　

[解析]　＝＝＝，而EF＝FG.

15证明：如图，在平面α上任取一点A，且使A∉b.∵a∥α，∴A∉a.

故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.

同理，在平面β上任取一点B，且使B∉b，

则B和a确定平面δ，设δ∩β＝n.

∵a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，∴a∥m.

同理a∥n，则m∥n.

又m⊄β，n⊂β，∴m∥β.

又∵m⊂α，α∩β＝b，∴m∥b.又a∥m，∴a∥b.

[点评]　本题利用线面平行的判定和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．转化的思想是一种重要的数学思想．本节常用的转化为：

16[证明]　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB.

同理，FH∥AB，∴EG∥FH.

同理，EF∥GH.

∴四边形EFHG是一个平行四边形．

17[证明]　∵EH∥A1D1，又A1D1∥B1C1

∴EH∥B1C1

∴EH∥平面BCC1B1

又平面EHGF∩平面BCC1B1＝FG

∴EH∥FG　∴FG∥A1D1　又FG⊄平面ADD1A，A1D1⊂平面ADD1A1，

∴FG∥平面ADD1A1.

18[解析]　在PC上取点E，使＝，

则BE∥平面PAD.

证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF.

梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.

∴＝＝，

∴＝.

又＝，

∴△PFC中，＝，

∴BE∥PF，

而BE⊄平面PAD，PF⊂平面PAD.

∴BE∥平面PAD.