人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时课后作业题
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一、选择题(每小题5分,共20分)
1.函数y=a|x|(0<a<1)的图象是( )
解析: 由y=a|x|=,且0<a<1,知C正确.
答案: C
2.下列四个函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )
A.y=2 B.y=
C.y= D.y=2-x
解析: 在A中,∵≠0,∴2≠1,
即y=2的值域为(0,1)∪(1,+∞).
在B中,2x-1≥0,
∴y=的值域为[0,+∞).
在C中,∵2x>0,
∴2x+1>1.
∴y=的值域为(1,+∞).
在D中,∵2-x∈R,∴y=2-x>0.
∴y=2-x的值域为(0,+∞).故选D.
答案: D
3.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析: 由题意知或
解得:x0<-1或x0>1,故选D.
答案: D
4.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(1,8)
C.[4,8) D.(4,8)
解析: 函数f(x)=
是R上的增函数;则
∴4≤a<8,故选C.
答案: C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数a=________.
解析: ∵f(x)为偶函数
∴f(-x)=f(x),则(a+1)·e2x+(a+1)=0
∴a=-1.
答案: -1
6.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在x∈[-2,2]上恒有f(x)<2,则实数a的取值范围为________.
解析: 当a>1时,f(x)=ax在[-2,2]上为增函数,
∴f(x)max=f(2),
又∵x∈[-2,2]时,f(x)<2恒成立,
∴,即,
解得1<a<.
同理,当0<a<1时,
,
解得<a<1.
综上所述,a∈∪(1,).
答案: ∪(1,)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.
解析: 当a>1时,f(x)在[0,2]上递增,
∴,即,∴a=±.
又a>1,∴a=,
当0<a<1时,f(x)在[0,2]上递减,
∴,即,解得a∈∅,
综上所述,a=.
8.已知a>0且a≠1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
解析: 设u=-x2+3x+2=-2+,
则当x≥时,u是减函数,当x≤时,u是增函数.
又当a>1时,y=au是增函数,当0<a<1时,y=au是减函数,
所以当a>1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在上是减函数,在上是增函数.
当0<a<1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在上是增函数,在上是减函数.
☆☆☆
9.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
解析: (1)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即=0,
∴b=1,∴f(x)=.
又∵f(-1)=-f(1),
∴=-,∴a=2,
∴f(x)=.
(2)先研究f(x)=的单调性.
∵f(x)==-+,
∴f(x)=在R上为减函数.
∵f(x)为奇函数,
∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0即
f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).
又∵f(x)在R为减函数,
∴t2-2t>-2t2+k,
即对一切t∈R,有3t2-2t-k>0,
∴Δ<0,即4+12k<0,∴k<-.
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