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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.3 数据的直观表示第2课时导学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.3 数据的直观表示第2课时导学案，共17页。学案主要包含了频率分布直方图的绘制，频率分布直方图的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多而杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．怎样才能直观地表示出数据的大致分布呢？
一、频率分布直方图的绘制
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
问题1 你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？
提示 为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．
问题2 为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况，用怎样的方法了解？
提示 采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况．
问题3 假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下表(单位：t)：
9．0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19．4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6．0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0
16．7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3．6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0
3．0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3．6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16．0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5．3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
提示 最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为1.3～28.0.
问题4 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？
提示 26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组．
问题5 以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
提示 [1.2,4.2)，[4.2,7.2)，…，[25.2,28.2]．
问题6 试列出频率分布表．
提示
问题7 请画出频率分布直方图．
提示
知识梳理
制作频率分布直方图的步骤
(1)找出最值，计算极差；(2)合理分组，确定区间；(3)整理数据；(4)作出频率分布直方图．
注意点：绘制频率分布直方图应注意的三个问题
(1)决定组距与组数：组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况．组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程．当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(2)分点的确定：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有一位数字的数，则分点数据减去0.05，以此类推．分组时，通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
(3)在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
例1 某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图．
解 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为eq \f(55,5)＝11.
(1)频率分布表如下：
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示．
反思感悟 (1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系．
①若eq \f(极差,组距)为整数，则eq \f(极差,组距)＝组数；
②若eq \f(极差,组距)不为整数，则eq \f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况．
跟踪训练1 为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)九年级女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率．
解 (1)方法一 N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，eq \f(m,0.04)＝eq \f(8,0.16)，
∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二 M＝eq \f(1,0.02)＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，
N＝1.00，n＝eq \f(m,M)＝eq \f(2,50)＝0.04.
(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示eq \f(频率,组距)，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．
(3)由频率分布直方图可知，样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，且身高在161.5 cm以上的频率为0.16＋0.04＝0.20，由此可估计九年级女生中身高在[153.5，157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率为0.20.
二、频率分布直方图的应用
例2 某市3 000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识初赛，成绩统计如图所示．
(1)求a的值；
(2)估计该市参加考试的3 000名市民中，成绩在[70,90)的人数．
解 (1)依题意知，(3a＋7a＋6a＋2a＋2a)×10＝1，故a＝0.005.
(2)成绩在[70, 90)的频率为(7a＋6a)×10＝130a＝130×0.005＝0.65，
所以所求人数为3 000×0.65＝1 950.
反思感悟 (1)频率分布直方图的性质
①频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
跟踪训练2 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)样本中分数小于70的频率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计样本中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计样本中男生和女生人数的比例．
解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
(2)根据题意，得样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq \f(1,2)＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.
1．知识清单：
(1)频率分布直方图的理解．
(2)频率(数)分布直方图的绘制．
(3)频率分布直方图的应用．
(4)利用频率分布直方图估计数字特征．
2．方法归纳：图表识别、数据分析．
3．常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清．
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A．组距 B．频率 C．组数 D．频数
答案 B
解析 根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率．
2．某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是( )
A．10 B．2 C．5 D．15
答案 A
解析 由图可知频率＝eq \f(频率,组距)×组距，知频率为0.02×5＝0.1.所以所抽取的女生中体重在40～45 kg的有0.1×100＝10(人)．
3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________.
答案 200
解析 由题意得eq \f(50,n)＝0.25，所以n＝200.
4．如图，一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60]内的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60]内的数据个数之和为________．
答案 21
解析 根据题意，设分布在[40,50]，[50,60]内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20,60]内的频率为0.6，样本容量为50，
∴eq \f(4＋5＋x＋y,50)＝0.6，解得x＋y＝21.
即样本在[40,50)，[50,60]内的数据个数之和为21.
5．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________(填整数)．
答案 133
解析 由已知可以判断a∈[130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.
1．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
答案 B
解析 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq \f(15,0.3)＝50.
2．(多选)某企业为了了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正确的是( )
A．样本中位数是200元
B．样本容量是20
C．该企业员工捐款金额的极差是450元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
答案 BCD
解析 对于A，共2＋8＋5＋4＋1＝20(人)，中位数为150元，错误；对于B，共20人，故样本容量为20，正确；对于C，极差为500－50＝450(元)，正确；对于D，该企业员工最大捐款金额是500元，正确．
3．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积之和的eq \f(1,4)，且样本容量为200，则第8组的频数为( )
A．40 B．0.2 C．50 D．0.25
答案 A
解析 设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.
4．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则这100个新生婴儿中，体重(单位：kg)在[3.2,4.0)内的人数是( )
A．30 B．40 C．50 D．55
答案 B
解析 在频率分布直方图中小长方形的面积为频率．
在[3.2,3.6)内的频率为0.625×0.4＝0.25，频数为0.25×100＝25，
在[3.6,4.0)内的频率为0.375×0.4＝0.15，频数为0.15×100＝15.
则这100个新生婴儿中，体重在[3.2,4.0)内的有25＋15＝40(人)．
5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64 B．54 C．48 D．27
答案 B
解析 由题意知[4.7,4.8)之间的频率为0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22，所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．
答案 3 0.025
解析 由位于[110,120)的频数为36，频率为eq \f(36,n)＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130,140)的频率为eq \f(12,120)＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.
7．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的eq \f(1,3)，则该组的频数为________．
答案 50
解析 设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为p，则中间一个小矩形面积为eq \f(1,3)p，p＋eq \f(1,3)p＝1，得p＝eq \f(3,4)，则中间一个小矩形的面积为eq \f(1,3)p＝eq \f(1,4)，即200×eq \f(1,4)＝50，即该组的频数为50.
8．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为________．
答案 48
解析 设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，
则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝eq \f(12,n)，所以n＝48.
9．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33]内的频数．
解 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于eq \f(4,75)×3＝eq \f(4,25).
(2)因为样本在[15,18)内的频数为8，由(1)可知，
样本容量为eq \f(8,\f(4,25))＝8×eq \f(25,4)＝50.
(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06，
故样本在[12,15)内的频率为0.06，
故样本在[15,33]内的频数为50×(1－0.06)＝47，
又在[15,18)内频数为8，
故在[18,33]内的频数为47－8＝39.
10．某市4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良(特别说明：在80以上的认为接近轻微污染)；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价．
解 (1)频率分布表：
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)答对下述两条中的一条即可．
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平，占当月天数的eq \f(1,15)；有26天处于良的水平，占当月天数的eq \f(13,15)；处于优或良的天数为28，占当月天数的eq \f(14,15).说明该市4月份空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的eq \f(1,15)；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的eq \f(17,30)，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善．
11．某教育机构随机抽查某校20个班级，调查各班关注“汉字听写大赛”的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
答案 A
解析 由频率分布直方图知，各组频数统计如下表：
结合各选项茎叶图中的数据可知选项A正确．
12．(多选)供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到频率分布直方图(如图所示)，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是( )
A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量在[20,30)内的有300人
C．12月份人均用电量不低于20度的有500人
D．12月份人均用电量为25度
答案 ABC
解析 根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有 1 000×0.04×10＝400(人)，A正确；12月份人均用电量在[20,30)内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有 1 000×0.5＝500(人)，C正确；12月份人均用电量为5×0.1＋15×0.4＋25×0.3＋35×0.1＋45×0.1＝22，D错误．
13．某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为________，分数在[90,100]内的人数为________．
答案 25 2
解析 由频率分布直方图知，分数在[90,100]内的频率和[50,60)内的频率相同，所以分数在[90,100]内的人数为2，总人数为eq \f(2,0.08)＝25.
14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
答案 0.030 3
解析 因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为eq \f(10,60)×18＝3.
15．某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为( )
图①
图②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
答案 B
解析 由题意得c＋d＝eq \f(12,100)×eq \f(1,5)＝0.024，且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1，所以2×0.024＋a＋b＝0.2，所以a＋b＝0.152.
16．某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A，B两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试．
(1)求该学校高一新生中A，B两类学生各多少人？
(2)经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分及以上A，B两类学生参加测试的成绩的茎叶图
图2：100名学生测试成绩的频率分布直方图
图3：100名学生成绩的频率分布表
先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图补充完整．
解 (1)由题意知A类学生有500×eq \f(40,40＋60)＝200(人)，
则B类学生有500－200＝300(人)．
(2)表格：
图2：
分组
频数累计
频数
频率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
14
0.14
[10.2,13.2)
8
0.08
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
正
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合计
100
1.00
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1.00
0.200
分组
频数
频率
[145.5,149.5)
1
0.02
[149.5,153.5)
4
0.08
[153.5,157.5)
20
0.40
[157.5,161.5)
15
0.30
[161.5,165.5)
8
0.16
[165.5,169.5]
m
n
合计
M
N
分组
频数
频率
[80,90)
①
②
[90,100)
0.050
[100,110)
0.200
[110,120)
36
0.300
[120,130)
0.275
[130,140)
12
③
[140,150]
0.050
合计
④
分组
频数
频率
[41,51)
2
eq \f(2,30)
[51,61)
1
eq \f(1,30)
[61,71)
4
eq \f(4,30)
[71,81)
6
eq \f(6,30)
[81,91)
10
eq \f(10,30)
[91,101)
5
eq \f(5,30)
[101,111]
2
eq \f(2,30)
合计
30
1
分组
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
频数
1
1
4
2
分组
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
频数
4
3
3
2
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)
4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)
6
[80,85]
合计
100
1.00
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)
25
0.25
4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)
10
0.10
6
[80,85]
5
0.05
合计
100
1.00
导语
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多而杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．怎样才能直观地表示出数据的大致分布呢？
一、频率分布直方图的绘制
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
问题1 你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？
提示 为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等．
问题2 为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况，用怎样的方法了解？
提示 采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况．
问题3 假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量如下表(单位：t)：
9．0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19．4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6．0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0
16．7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3．6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0
3．0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3．6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16．0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5．3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？
提示 最大值是28.0，最小值是1.3，样本观测数据的变化范围为1.3～28.0.
问题4 样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？
提示 26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组．
问题5 以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
提示 [1.2,4.2)，[4.2,7.2)，…，[25.2,28.2]．
问题6 试列出频率分布表．
提示
问题7 请画出频率分布直方图．
提示
知识梳理
制作频率分布直方图的步骤
(1)找出最值，计算极差；(2)合理分组，确定区间；(3)整理数据；(4)作出频率分布直方图．
注意点：绘制频率分布直方图应注意的三个问题
(1)决定组距与组数：组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况．组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程．当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(2)分点的确定：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后有一位数字的数，则分点数据减去0.05，以此类推．分组时，通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
(3)在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
例1 某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图．
解 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为eq \f(55,5)＝11.
(1)频率分布表如下：
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示．
反思感悟 (1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系．
①若eq \f(极差,组距)为整数，则eq \f(极差,组距)＝组数；
②若eq \f(极差,组距)不为整数，则eq \f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况．
跟踪训练1 为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)九年级女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率．
解 (1)方法一 N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，eq \f(m,0.04)＝eq \f(8,0.16)，
∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二 M＝eq \f(1,0.02)＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，
N＝1.00，n＝eq \f(m,M)＝eq \f(2,50)＝0.04.
(2)作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示eq \f(频率,组距)，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．
(3)由频率分布直方图可知，样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，且身高在161.5 cm以上的频率为0.16＋0.04＝0.20，由此可估计九年级女生中身高在[153.5，157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率为0.20.
二、频率分布直方图的应用
例2 某市3 000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识初赛，成绩统计如图所示．
(1)求a的值；
(2)估计该市参加考试的3 000名市民中，成绩在[70,90)的人数．
解 (1)依题意知，(3a＋7a＋6a＋2a＋2a)×10＝1，故a＝0.005.
(2)成绩在[70, 90)的频率为(7a＋6a)×10＝130a＝130×0.005＝0.65，
所以所求人数为3 000×0.65＝1 950.
反思感悟 (1)频率分布直方图的性质
①频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③eq \f(频数,相应的频率)＝样本容量．
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
跟踪训练2 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)样本中分数小于70的频率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计样本中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计样本中男生和女生人数的比例．
解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
(2)根据题意，得样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq \f(1,2)＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.
1．知识清单：
(1)频率分布直方图的理解．
(2)频率(数)分布直方图的绘制．
(3)频率分布直方图的应用．
(4)利用频率分布直方图估计数字特征．
2．方法归纳：图表识别、数据分析．
3．常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清．
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A．组距 B．频率 C．组数 D．频数
答案 B
解析 根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率．
2．某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是( )
A．10 B．2 C．5 D．15
答案 A
解析 由图可知频率＝eq \f(频率,组距)×组距，知频率为0.02×5＝0.1.所以所抽取的女生中体重在40～45 kg的有0.1×100＝10(人)．
3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________.
答案 200
解析 由题意得eq \f(50,n)＝0.25，所以n＝200.
4．如图，一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60]内的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60]内的数据个数之和为________．
答案 21
解析 根据题意，设分布在[40,50]，[50,60]内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20,60]内的频率为0.6，样本容量为50，
∴eq \f(4＋5＋x＋y,50)＝0.6，解得x＋y＝21.
即样本在[40,50)，[50,60]内的数据个数之和为21.
5．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________(填整数)．
答案 133
解析 由已知可以判断a∈[130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.
1．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
答案 B
解析 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq \f(15,0.3)＝50.
2．(多选)某企业为了了解员工给灾区“爱心捐款”的情况，随机抽取部分员工的捐款金额整理绘制成如图所示的直方图，根据图中信息，下列结论正确的是( )
A．样本中位数是200元
B．样本容量是20
C．该企业员工捐款金额的极差是450元
D．该企业员工最大捐款金额是500元
答案 BCD
解析 对于A，共2＋8＋5＋4＋1＝20(人)，中位数为150元，错误；对于B，共20人，故样本容量为20，正确；对于C，极差为500－50＝450(元)，正确；对于D，该企业员工最大捐款金额是500元，正确．
3．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积之和的eq \f(1,4)，且样本容量为200，则第8组的频数为( )
A．40 B．0.2 C．50 D．0.25
答案 A
解析 设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.
4．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则这100个新生婴儿中，体重(单位：kg)在[3.2,4.0)内的人数是( )
A．30 B．40 C．50 D．55
答案 B
解析 在频率分布直方图中小长方形的面积为频率．
在[3.2,3.6)内的频率为0.625×0.4＝0.25，频数为0.25×100＝25，
在[3.6,4.0)内的频率为0.375×0.4＝0.15，频数为0.15×100＝15.
则这100个新生婴儿中，体重在[3.2,4.0)内的有25＋15＝40(人)．
5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为( )
A．64 B．54 C．48 D．27
答案 B
解析 由题意知[4.7,4.8)之间的频率为0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22，所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．
答案 3 0.025
解析 由位于[110,120)的频数为36，频率为eq \f(36,n)＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130,140)的频率为eq \f(12,120)＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.
7．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的eq \f(1,3)，则该组的频数为________．
答案 50
解析 设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为p，则中间一个小矩形面积为eq \f(1,3)p，p＋eq \f(1,3)p＝1，得p＝eq \f(3,4)，则中间一个小矩形的面积为eq \f(1,3)p＝eq \f(1,4)，即200×eq \f(1,4)＝50，即该组的频数为50.
8．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为________．
答案 48
解析 设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，
则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝eq \f(12,n)，所以n＝48.
9．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33]内的频数．
解 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于eq \f(4,75)×3＝eq \f(4,25).
(2)因为样本在[15,18)内的频数为8，由(1)可知，
样本容量为eq \f(8,\f(4,25))＝8×eq \f(25,4)＝50.
(3)因为在[12,15)内的小矩形面积为0.06，
故样本在[12,15)内的频率为0.06，
故样本在[15,33]内的频数为50×(1－0.06)＝47，
又在[15,18)内频数为8，
故在[18,33]内的频数为47－8＝39.
10．某市4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良(特别说明：在80以上的认为接近轻微污染)；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价．
解 (1)频率分布表：
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)答对下述两条中的一条即可．
①该市4月份中空气质量有2天处于优的水平，占当月天数的eq \f(1,15)；有26天处于良的水平，占当月天数的eq \f(13,15)；处于优或良的天数为28，占当月天数的eq \f(14,15).说明该市4月份空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的eq \f(1,15)；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的eq \f(17,30)，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善．
11．某教育机构随机抽查某校20个班级，调查各班关注“汉字听写大赛”的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
答案 A
解析 由频率分布直方图知，各组频数统计如下表：
结合各选项茎叶图中的数据可知选项A正确．
12．(多选)供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到频率分布直方图(如图所示)，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是( )
A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量在[20,30)内的有300人
C．12月份人均用电量不低于20度的有500人
D．12月份人均用电量为25度
答案 ABC
解析 根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有 1 000×0.04×10＝400(人)，A正确；12月份人均用电量在[20,30)内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有 1 000×0.5＝500(人)，C正确；12月份人均用电量为5×0.1＋15×0.4＋25×0.3＋35×0.1＋45×0.1＝22，D错误．
13．某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为________，分数在[90,100]内的人数为________．
答案 25 2
解析 由频率分布直方图知，分数在[90,100]内的频率和[50,60)内的频率相同，所以分数在[90,100]内的人数为2，总人数为eq \f(2,0.08)＝25.
14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
答案 0.030 3
解析 因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为eq \f(10,60)×18＝3.
15．某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为( )
图①
图②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
答案 B
解析 由题意得c＋d＝eq \f(12,100)×eq \f(1,5)＝0.024，且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1，所以2×0.024＋a＋b＝0.2，所以a＋b＝0.152.
16．某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B两类进行教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A，B两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试．
(1)求该学校高一新生中A，B两类学生各多少人？
(2)经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分及以上A，B两类学生参加测试的成绩的茎叶图
图2：100名学生测试成绩的频率分布直方图
图3：100名学生成绩的频率分布表
先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图补充完整．
解 (1)由题意知A类学生有500×eq \f(40,40＋60)＝200(人)，
则B类学生有500－200＝300(人)．
(2)表格：
图2：
分组
频数累计
频数
频率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
14
0.14
[10.2,13.2)
8
0.08
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
正
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合计
100
1.00
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1.00
0.200
分组
频数
频率
[145.5,149.5)
1
0.02
[149.5,153.5)
4
0.08
[153.5,157.5)
20
0.40
[157.5,161.5)
15
0.30
[161.5,165.5)
8
0.16
[165.5,169.5]
m
n
合计
M
N
分组
频数
频率
[80,90)
①
②
[90,100)
0.050
[100,110)
0.200
[110,120)
36
0.300
[120,130)
0.275
[130,140)
12
③
[140,150]
0.050
合计
④
分组
频数
频率
[41,51)
2
eq \f(2,30)
[51,61)
1
eq \f(1,30)
[61,71)
4
eq \f(4,30)
[71,81)
6
eq \f(6,30)
[81,91)
10
eq \f(10,30)
[91,101)
5
eq \f(5,30)
[101,111]
2
eq \f(2,30)
合计
30
1
分组
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
频数
1
1
4
2
分组
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
频数
4
3
3
2
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)
4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)
6
[80,85]
合计
100
1.00
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)
25
0.25
4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)
10
0.10
6
[80,85]
5
0.05
合计
100
1.00
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