人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试达标测试

这是一份人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试达标测试，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝4，b＝4eq \r(3)，角A＝30°，则角B等于( )．
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
解析 根据正弦定理得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(3)sin 30°,4)＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
答案 D
2．(2011·福州高二检测)在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，则b等于( )．
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C.eq \r(3) D．2
解析 由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，故eq \f(1,sin 30°)＝eq \f(b,sin 60°)，解之得b＝eq \r(3)，故选C.
答案 C
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cs C的值为( )．
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
解析 由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，根据余弦定理得，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(3x2＋2x2－4x2,2×3x×2x)＝－eq \f(1,4).
答案 D
4．在△ABC中，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由正弦定理，原式可化为eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C.
∴△ABC是等边三角形．
答案 B
5．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )．
A．1C．1解析 由题意，x应满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋42－x2>0，,22＋x2－42>0，))
解得：2eq \r(3)答案 D
6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是( )．
A.eq \r(20) B.eq \r(21) C.eq \r(22) D.eq \r(61)
解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝eq \f(1,2)，或x＝－2(舍)．
∴cs θ＝eq \f(1,2)，
∴第三边长为 eq \r(42＋52－2×4×5×\f(1,2))＝eq \r(21).
答案 B
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sin B,sin C)的值为( )．
A.eq \f(8,5) B.eq \f(5,8) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,5)
解析 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A，
即72＝52＋AC2－10AC·cs 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5).
答案 D
8．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为( )．
A．4eq \r(3) B．5 C．5eq \r(2) D．6eq \r(2)
解析 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B，∴c＝4eq \r(2)，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B＝25，∴b＝5.
由正弦定理2R＝eq \f(b,sin B)＝5eq \r(2)(R为△ABC外接圆的半径)，故选C.
答案 C
9．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是( )．
A.eq \f(3,2)eq \r(2) B.eq \f(3,2)eq \r(3) C.eq \f(3,2) D．3eq \r(3)
解析 ∵A＝60°，∴sin A＝eq \f(\r(3),2).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
设边AC上的高为h，
则S△ABC＝eq \f(1,2)AC·h＝eq \f(1,2)×4×h＝3eq \r(3)，∴h＝eq \f(3,2)eq \r(3).
答案 B
10．(2011·龙山高二检测)已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )．
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
解析 p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0⇒eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)＝cs C，∴C＝eq \f(π,3).
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，若B＝60°，a＝1，S△ABC＝eq \f(\r(3),2)，则eq \f(c,sin C)＝________.
解析 把已知条件代入面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B得c＝2.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B＝3，∴b＝eq \r(3).
由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)＝2.
答案 2
12．在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
解析 设BC＝x，则根据余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcs C，
即5＝25＋x2－2×5·x·eq \f(9,10)，
∴x2－9x＋20＝0，∴x＝4或x＝5.
答案 4或5
13．(2011·洛阳高二检测)在△ABC中，若b＝eq \r(2)a，B＝2A，则△ABC为________三角形．
解析 由正弦定理知sin B＝eq \r(2)sin A，
又∵B＝2A，∴sin 2A＝eq \r(2)sin A，
∴2sin Acs A＝eq \r(2)sin A，
∴cs A＝eq \f(\r(2),2)，∴A＝45°，B＝90°.
故△ABC为等腰直角三角形．
答案 等腰直角
14．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.
解析 如图，由已知条件，
得AC＝60 km，∠BAC＝30°，
∠ACB＝105°，∠ABC＝45°.
由正弦定理BC＝eq \f(ACsin ∠BAC,sin B)＝30eq \r(2) (km)
答案 30eq \r(2)
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin B
sin C，且eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，求△ABC的面积S.
解 由已知得b2＋c2＝a2＋bc，
∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccs A，
∴cs A＝eq \f(1,2)，sin A＝eq \f(\r(3),2).
由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，得bccs A＝4，∴bc＝8，
∴S＝eq \f(1,2)bcsin A＝2eq \r(3).
16．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解 如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D
两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝eq \r(3)≈1.732(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝
30°，
由正弦定理sin∠ACB＝eq \f(sin 30°,AC)·AB＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米)，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米)．
∵eq \f(BC,12)×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
17．(10分)在△ABC中，若8·sin2eq \f(B＋C,2)－2cs 2A＝7.
(1)求角A的大小；
(2)如果a＝eq \r(3)，b＋c＝3，求b，c的值．
解 (1)∵eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2)，
∴sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)，
∴原式可化为8cs2eq \f(A,2)－2cs 2A＝7，
∴4cs A＋4－2(2cs2A－1)＝7，
∴4cs2A－4cs A＋1＝0，解得cs A＝eq \f(1,2)，∴A＝60°.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴b2＋c2－bc＝3.
又∵b＋c＝3，∴b＝3－c，
代入b2＋c2－bc＝3，并整理得c2－3c＋2＝0，
解之得c＝1或c＝2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝1.))
18．(12分)在△ABC中，若sin(C－A)＝1，sin B＝eq \f(1,3).
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝eq \r(6)，求△ABC的面积．
解 (1)由sin(C－A)＝1知，
C－A＝eq \f(π,2)，且C＋A＝π－B，
∴A＝eq \f(π,4)－eq \f(B,2)，
∴sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(B,2)))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(B,2)－sin \f(B,2)))，
∴sin2A＝eq \f(1,2)(1－sin B)＝eq \f(1,3)，
又sin A>0，∴sin A＝eq \f(\r(3),3).
(2)由正弦定理得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，
∴BC＝eq \f(ACsin A,sin B)＝eq \f(\r(6)·\f(\r(3),3),\f(1,3))＝3eq \r(2)，
由(1)知sin A＝eq \f(\r(3),3)，∴cs A＝eq \f(\r(6),3).
又sin B＝eq \f(1,3)，∴cs B＝eq \f(2\r(2),3).
又sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B
＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(\r(6),3)×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(6),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC·sin C＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×3eq \r(2)×eq \f(\r(6),3)＝3eq \r(2).
19．(12分)在△ABC中，已知sin B＝cs Asin C，eq \(AB,\s\up6(→))·Aeq \(C,\s\up6(→))＝9，又△ABC的面积等于6.
(1)求C；
(2)求△ABC的三边之长．
解 (1)设三角形三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，
∵sin B＝cs Asin C，
∴cs A＝eq \f(sin B,sin C)，由正弦定理有cs A＝eq \f(b,c)，
又由余弦定理有cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∴eq \f(b,c)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，即a2＋b2＝c2，
所以△ABC为Rt△ABC，且C＝90°.
(2)又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝|\(A B,\s\up6(→))|| \(AC,\s\up6(→))|cs A＝9，,S△ABC＝\f(1,2)| \(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|sin A＝6，)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
②÷①，得tan A＝eq \f(4,3)＝eq \f(a,b)，令a＝4k，b＝3k(k>0)，
则S△ABC＝eq \f(1,2)ab＝6⇒k＝1，
∴三边长分别为a＝4，b＝3，c＝5.