人教版新课标A3.4 基本不等式同步训练题

章末质量评估(三)

(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2011·石家庄高二检测)设，a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是   (　　)．

A．ac>bd         B．a－c>b－d

C．a＋c>b＋d        D.>

解析　∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.

答案　C

2．不等式<的解集是             (　　)．

A．(－∞，2)        B．(2，＋∞)

C．(0,2)         D．(－∞，0)∪(2，＋∞)

解析　由<，得－＝<0，

即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.

答案　D

3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则         (　　)．

A．M >N         B．M ≥N

C．M<N         D．M≤N

解析　∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)

＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3

＝(a－1)2＋2>0.

∴M >N.

答案　A

4．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则    (　　)．

A．3x0＋2y0>0        B．3x0＋2y0<0

C．3x0＋2y0<8        D．3x0＋2y0>8

解析　设f(x，y)＝3x＋2y－8，则由题意，得f(x0，y0)·f(1,2)<0，得3x0＋2y0－8>0.

答案　D

5．(2011·江西卷)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝ (　　)．

A．{x|－1≤x<0}        B．{x|0<x≤1}

C．{x|0≤x≤2}        D．{x|0≤x≤1}

解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，

∴A∩B＝{x|0<x≤1}．

答案　B

6．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是    (　　)．

A．(－5，－4]        B．(－∞，－4]

C．(－∞，－2)        D．(－∞，－5)∪(－5，－4]

解析　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，

则

解得：，故选A.

答案　A

7．如果log3m＋log3n≥4，那么m＋n的最小值为        (　　)．

A．4     B．4     C．9     D．18

解析　∵log3m＋log3n＝log3mn≥4，

∴mn≥34，又由已知条件隐含着m>0，n>0.

故m＋n≥2≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值．

所以m＋n的最小值为18.

答案　D

8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 (　　)．

A．6     B．7      C．8     D．23

解析　作出可行域如图所示：由图可知，z＝2x＋3y经过点

A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.

答案　B

9．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是

(　　)．

A．[－1,1]         B．[－2,2]

C．[－2,1]         D．[－1,2]

解析　f(x)≥x2⇔或

⇔或

⇔或

⇔－1≤x≤0或0<x≤1

⇔－1≤x≤1.

答案　A

10．(2011·福建卷)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是                                                                                                                              (　　)．

A．[－1,0]         B．[0,1]

C．[0,2]         D．[－1,2]

解析　作出可行域，如图所示，·＝－x＋y.

设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最

小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0

＋2＝2，

∴·的取值范围是[0,2]．

答案　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

11．(2011·汕头高二检测)若＜<0，已知下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④＋>2；⑤a2>b2；⑥2a>2b.

其中正确的不等式的序号为________．

解析　∵<<0.∴b<a<0，故③错，又b<a<0，可得|a|<|b|，a2<b2，故②⑤错．

答案　①④⑥

12．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．

解析　∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为∅，

∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，

∴a2－2a－3<0，

∴－1<a<3.

答案　(－1,3)

13．已知0<x<6，则(6－x)·x的最大值是________．

解析　∵0<x<6，∴6－x>0.

∴(6－x)·x≤2＝9.

当且仅当6－x＝x，即x＝3时，取等号．

答案　9

14．若变量x，y满足条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析　作出可行域如图所示，作出直线l：x＋y

＝0，由图可知当l平移到A点时，z最大．

解方程组

得

∴A(，)，∴zmax＝＋＝＝.

答案　

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(10分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

解　(1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴，解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

16．(10分)(1)求函数y＝(x>－1)的最小值；

(2)已知：x>0，y>0且3x＋4y＝12.求lg x＋lg y的最大值及相应的x，y值．

解　(1)∵x>－1，∴x＋1>0.

∴y＝＝

＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9.

当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．

∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)的最小值为9.

(2)∵x>0，y>0，且3x＋4y＝12.

∴xy＝(3x)·(4y)≤2＝3.

∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 3.

当且仅当3x＝4y＝6，即x＝2，y＝时等号成立．

∴当x＝2，y＝时，lg x＋lg y取最大值lg 3.

17．(10分)(2011·唐山高二检测)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大？

解　设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是

，目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y使f＝3x＋2y取得最大值．

作出可行域，如图．

设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－x

＋，

这是斜率为－，随a变化的一组直线．

当直线与可行域相交且截距最大时，

目标函数f取得最大值．由得

因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200,100件时，可得最大收入800千元．

18．(12分)一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300元？

解　设该厂月获得的利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0<x<80)．由题意，知－2x2＋130x－500≥1 300，

解得：20≤x≤45，所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．

19．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米，

∴a2x＝4 000⇒a＝，

∴S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1)．

(2)S≥1 600＋4 160＝5 760(米2)(当且仅当2＝⇒x＝2.5)，即当x＝2.5时，公园所占面积最小．此时a＝40，ax＝100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．