人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试同步训练题

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这是一份人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试同步训练题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a<0,-1A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有( )
A.M>NB.M≥N
C.M3.直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域的是( )
A.(-3,4)B.(-3,-4)
C.(0,-3)D.(-3,2)
4.不等式组x2-1<0,x2-3x<0的解集为( )
A.{x|-1C.{x|05.已知x,y是正数,且xy=4,则yx+xy取得最小值时,x的值是( )
A.1B.2C.22D.2
6.若a>b>0,cA.ac>bdB.acC.ad>bcD.ad7.若关于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-4B.a≥-4
C.a≥-12D.a≤-12
8.不等式14-5x-x2<0的解集为( )
A.{x|-72}
C.{x|x>2}D.{x|x<-7}
9.已知a,b为正实数,若函数f(x)=ax3+bx+ab-1是奇函数,则f(2)的最小值是( )
A.2B.4C.8D.16
10.*设x,y满足约束条件8x-y-4≤0,x+y+1≥0,y-4x≤0,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,则1a+1b的最小值为( )
A.5B.52C.92D.9
11.若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+9b-1的最小值为( )
A.16B.9C.6D.1
12.若△ABC的内角A,B满足sinBsinA=2cs(A+B),则tan B的最大值为( )
A.33B.32C.22D.24
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.不等式2x2+2x-4≤12的解集为 .
14.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .
15.*已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围是 .
16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为互不相等的常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R,则b2a2+c2的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若函数f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为M,函数g(x)=1-2x-1的定义域为N,求集合M、N、M∩N.
18.(本小题满分12分)已知x>y>0且xy=1,求x2+y2x-y的最小值及此时x、y的值.
19.(本小题满分12分)解下列不等式(组):
(1)x(x+2)>0,x2<1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
20.(本小题满分12分)设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若不等式f(x)≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(x)21.*(本小题满分12分)某人有一幢楼房,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?
22.(本小题满分12分)如图,公园有一块边长为2 m的等边三角形ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,点D在AB上,点E在AC上.
(1)设AD=x,ED=y,求y关于x的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,则DE的最小值应为多少?如果DE是参观线路,希望它最长,则DE的最大值为多少?
答案全解全析
一、选择题
1.D 由-1b2>0>b,又a<0,所以ab>ab2>a.
2.A ∵M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,∴M>N.故选A.
3.A 当x=y=0时,3x+2y+5=5>0,则原点一侧对应的不等式是3x+2y+5>0,可以验证仅有(-3,4)满足3x+2y+5>0,故选A.
4.C 由x2-1<0,x2-3x<0,得-15.B yx+xy≥2xy=22,当且仅当xy=4,yx=xy,即x=y=2时取得最小值.故选B.
6.D 由c-1c>0,又a>b>0,
所以由不等式的性质,得-ad>-bc>0,所以ad7.A 不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则只需在1≤x≤4内a≤(2x2-8x-4)max即可.设y=2x2-8x-4,∵y=2x2-8x-4(1≤x≤4)在x=4时取最大值-4,∴当a≤-4时,2x2-8x-4≥a在1≤x≤4内存在解.故选A.
8.B 原不等式等价于x2+5x-14>0,即(x+7)·(x-2)>0,解得x<-7或x>2,故选B.
9.C 因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以ab=1.又因为a,b为正实数,所以f(2)=8a+2b+ab-1=2(4a+b)≥2×24ab=8,当且仅当4a=b,ab=1,即a=12,b=2时取等号,故选C.
10.C 画出不等式组表示的区域如图,结合图可知,当动直线z=ax+by(a>0,b>0)经过点A(1,4)时,在y轴上的截距最大,即zmax=a+4b=2,即12(a+4b)=1,所以1a+1b=12(a+4b)1a+1b=52+12·4ba+ab≥52+12·24ba·ab=52+12×4=92,当且仅当a=2b,且a+4b=2,即a=23,b=13时取等号.故选C.
11.C ∵1a+1b=1,∴a+b=ab,
∴ab-a-b=0,∴ab-a-b+1=1,
∴a(b-1)-(b-1)=1,
∴(a-1)(b-1)=1.
∵a>0,b>0,1a+1b=1,
∴a>1,b>1,∴a-1>0,b-1>0,
∴1a-1+9b-1≥21a-1·9b-1=6,
当且仅当1a+1b=1,1a-1=9b-1,即a=43,b=4时,等号成立.
∴1a-1+9b-1的最小值为6.
12.A △ABC中,∵sin A>0,sin B>0,∴sinBsinA=2cs (A+B)=-2cs C>0,即cs C<0,
∴C为钝角,sin B=-2sin Acs C.
又sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,
∴sin Acs C+cs Asin C=-2sin Acs C,即cs Asin C=-3sin Acs C,
∴tan C=-3tan A,
∴tan B=-tan (A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=--2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA≤223=33,
当且仅当1tanA=3tan A,即tan A=33时取等号,
∴tan B的最大值为33,故选A.
二、填空题
13.答案 [-3,1]
解析不等式2x2+2x-4≤12可化为2x2+2x-4≤2-1,
∴x2+2x-4≤-1,
∴x2+2x-3≤0,
∴-3≤x≤1,
∴原不等式的解集为[-3,1].
14.答案 1≤m<19
解析 ①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,对任意实数x,函数值不可能恒大于0,舍去;
若m=1,则y=3>0恒成立.故m=1.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意应有,
m2+4m-5>0,16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0,
∴m<-5或m>1,1∴1综上可知,1≤m<19.
15.答案 (1,+∞)
解析画出可行域,如图中阴影部分所示,其中A(3,1),kAB=-1.
目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的一族平行直线在y轴上的截距,若仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以a的取值范围是(1,+∞).
16.答案 22-2
解析由题设可得ax2+(b-2a)x+c-b≥0对一切实数x恒成立,且a≠0,
所以(b-2a)2-4a(c-b)≤0,a>0,
即b2+4a2≤4ac,a>0,
所以b2a2+c2≤4a(c-a)a2+c2.
令c-a=t,则c=a+t,对于ax2+(b-2a)x+c-b≥0,令x=1,可得c-a≥0,又c≠a,所以c>a,即t>0,所以b2a2+c2≤4a(c-a)a2+c2=4ata2+a2+2at+t2=42at+ta+2≤422+2=22-2,当且仅当c=(2+1)a时取等号.
故b2a2+c2的最大值为22-2.
三、解答题
17.解析由题得8+2x-x2>0,即x2-2x-8<0,
∴(x-4)(x+2)<0,
∴-2∴M={x|-2由1-2x-1≥0,得x-3x-1≥0,
∴x<1或x≥3,
∴N={x|x<1或x≥3}.
∴M∩N={x|-218.解析 ∵x>y>0,∴x-y>0,
∵xy=1(定值),
∴x2+y2x-y=(x-y)2+2xyx-y=(x-y)+2x-y≥22,
当且仅当x>y>0,xy=1,x-y=2x-y,即x=6+22,y=6-22时,等号成立.
∴当x=6+22,y=6-22时,x2+y2x-y取得最小值22.
19.解析 (1)解不等式组x(x+2)>0,x2<1,得x<-2或x>0,-1所以不等式组的解集为{x|0(2)原不等式等价于6-2x≤x2-3x,x2-3x<18,
即x2-x-6≥0,x2-3x-18<0,
即(x-3)(x+2)≥0,(x-6)(x+3)<0,
所以x≤-2或x≥3,-3所以-320.解析 (1)f(x)≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立.
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;
当a≠0时,有a>0,Δ≤0,
即a>0,(1-a)2-4a2≤0,
解得a≥13.
综上,实数a的取值范围是13,+∞.
(2)不等式f(x)当a=0时,不等式可化为x-1<0,所以不等式的解集为{x|x<1}.
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,
所以不等式的解集为x-1a当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1};
②当-11,不等式的解集为xx>-1a或x<1;
③当a<-1时,-1a<1,不等式的解集为xx>1或x<-1a.
21.解析设他应隔出大房间x间,小房间y间,能获得收益为z元,
由题意可知18x+15y≤180,1 000x+600y≤8 000,x,y∈N,
即6x+5y≤60,5x+3y≤40,x,y∈N,
目标函数为z=200x+150y,画出可行域,为图中阴影部分中的整点.
作直线4x+3y=0,平移到经过B点时,z取得最大值,但B207,607并非整点,还需要在可行域内找出使目标函数z取得最大值的整点.
由于B207,607,利用网格,可在B附近找到A(2,9),C(2,8),D(3,8)这几个整点.经计算,当直线过点D时,z=200×3+150×8=1 800,最大,又当直线过点(0,12)时,z=150×12=1 800,
所以他应隔出大房间0间、小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.
22.解析 (1)在△ADE中,由余弦定理得,
y2=x2+AE2-2x·AE·cs 60°,整理得y2=x2+AE2-x·AE.①
因为S△ADE=12S△ABC,即12x·AE·sin 60°=12×12×32×22,所以x·AE=2.②
将②代入①得y2=x2+2x2-2.
又由题意可求得1≤x≤2,
故y关于x的函数关系式为y=x2+4x2-2(1≤x≤2).
(2)如果DE是灌溉水管,则y=x2+4x2-2≥2×2-2=2,
当且仅当x2=4x2,即x=2时,等号成立,故DEmin=2.
如果DE是参观线路,记函数f(x)=x2+4x2,可知该函数在[1,2]上递减,在[2,2]上递增,故f(x)max=max{f(1), f(2)}=5,
所以ymax=5-2=3,此时x=1或x=2.
故DE的最大值为3.

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