2013-2014学年高中数学 1.2《应用举例》(第1课时)目标导学 新人教A版必修5

第1课时　距离问题

1．复习巩固正弦定理、余弦定理．

2．能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题．

1．正弦定理

(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝______＝＝2R(在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径)．

(2)应用：利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：

①已知两角与一边，解三角形；

②已知两边与其中一边的对角，解三角形．

【做一做1】 在△ABC中，a＝4，b＝3，A＝30°，则sin B等于(　　)

A．1      B.     C.     D.

2．余弦定理

(1)定理：三角形中任何一边的______等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍．即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝____________，c2＝a2＋b2－2abcos C.

(2)推论：cos A＝，cos B＝______________，cos C＝.

(3)应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知三边，解三角形；

②已知两边及其夹角，解三角形．

【做一做2】 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝__________.

3．基线

在测量上，根据需要确定的适当线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

答案：1．(1)

【做一做1】 C

2．(1)平方　两　c2＋a2－2cacos B　(2)

【做一做2】 60°

距离问题的处理方法

剖析：(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．

这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．

(2) 测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．

首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求B，C和A，C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．

距离测量问题是基本的测量问题．在初中曾经学习过应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量，这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题，要注意问题的差异．

题型一  测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题

【例题1】 如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点之间的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．

分析：在△ABC中利用正弦定理求出AB即可．

反思：如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：

(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；

(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；

(3)用正弦定理解△ABC，得

.

题型二  测量两个不可到达的点之间的距离问题

【例题2】 如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．

分析：要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△BCD中求出它们的值．

反思：如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：

(1)取基线CD；

(2)测量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；

(3)在△ACD中，解三角形得AC；在△BCD中，解三角形得BC；

(4)在△ABC中，利用余弦定理得AB=.

答案：【例题1】 解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，

则B＝180°－(A＋C)＝60°，

由正弦定理，

得AB＝．

即A，B两点间的距离为.

【例题2】 解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，

∴AC＝CD＝.

在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.

在△BCD中，由正弦定理，

得BC＝＝.

则在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA

＝()2＋2－2×cos 75°＝5.

∴AB＝.

∴两个目标A，B之间的距离为 km.

1已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　)

A．10 km    B．    C．    D．

2设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出A，C的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A，B两点的距离为__________ m.

3 (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距 n mile，则此船的航行速度是__________n mile/h.

4 如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长．(精确到1 m)

5在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．

答案：1．D　2.50　3.16

4．解：在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.

∴AB＝．

∴DE＝AB－AD－BE＝－120≈409(m)．

∴隧道DE的长约为409 m.

5．解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝.

在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，

∵，

∴BD＝.

在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝ ，∴AB＝.

∴蓝方这两支精锐部队的距离为.