《空间向量及其运算》文字素材1（新人教A版选修2-1）

从三个方面谈空间向量

　　立体几何引入空间向量使得几何问题代数化，很多复杂的几何问题得以迎刃而解．但不少学生对空间向量的学习把握不准确，不知道要掌握到什么程度，拓宽到什么程度．本文从“转、基、法”三方面谈空间向量必须掌握之处，供参阅．

　　一、“转”

　　“转”即转化，即向量之间的相互表示；难点在于怎样有效地用已知向量来表示未知向量．正如三角函数求值中角的相互“转化”，怎样用已知角来代换未知角．

　　难点突破：寻找已知向量来表示所要求的向量往往立竿见影．或者利用分析法，根据所要求证的向量来表示要转化的向量．

　　例1　如图1，在空间四边形ABCD中，如果，

求证：．

　　证明：由，得

　　，

　　即，

　　取CD的中点E，连结AE和BE，则上式化为

　　，得，

　　即．所以．

　　评注：要得到，需从条件中构造，解答中的移项使得构造得以实现．

　　二、“基”

　　“基”即基底，由空间向量基本定理，可知空间任一向量可由不共面的三个向量来表示．用基底的眼光看问题会使得空间向量的表示简洁明朗化．

　　例2　已知正四面体，Ｅ、Ｆ分别为、的中点，求与所成角的余弦值．

　　解：设正四面体的棱长为1，如图2．

　　设，，，

　　则，

 ，

　　∴．

∴OE与BF所成的角的余弦值为．

　　评注：基底的取法还有很多，以，，三向量为基底来表示其它向量，可使问题轻松获解．

　　三、“法”

　　法向量求法：设，找平面内两相交向量a、b，再作，，得两方程，三个未知量两个方程，一般通过取定z的值来定法向量，方向朝上，方向朝下．

　　法向量的应用：

　　（一）利用平面法向量求线面角

　　方法：如图3，AB为平面的斜线，n为平面的法向量．如果与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角为；若为钝角（当n方向朝另一面时，即与图3的n反向时），则．故欲求斜线AB与平面所成的角，只需求出向量与平面的法向量n之间的夹角即可．总之．

　　例3　在长方体中，，，，求直线和平面所成角的正弦值．

解：如图4，以D为原点，以方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，则，

 ，

设平面的法向量，则

　　，即．

　　故是其中一组解，即为其中一个法向量，

所以．

　　故所求角的正弦值为．

　　（二）利用平面法向量求二面角的平面角

　　方法：如图5，平面的法向量所成的角即为二面角的平面角（或其补角）．

　　例4　在正方体中，Ｐ、Ｑ分别是的中点，求平面和底面所成锐二面角的余弦值．

　　解：建立空间直角坐标系，如图6所示．

　　由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量，

　　所以，即为所求角的余弦值．

　　（三）利用平面法向量求点到平面的距离

　　方法：如图7，求点P到平面的距离d，可以在平面上任意取一点Ａ，

则（n为平面的法向量，方向如图）．若不知n与夹角为锐角或钝角时，．

　　例5　如图8，四面体中，Ｏ、Ｅ分别是BD、BC的中点，，．

　　（1）求证：平面；

　　（2）求点Ｅ到平面的距离．

　　（1）证明：连结OC，∵，，∴，

　　∵，，∴．

　　在中，由已知可得

　　，而，

　　∴，∴，即．

　　∵，∴平面；

　　（2）解：以Ｏ为原点，如图8建立空间直角坐标系．

　　设平面的法向量为，则

　　令，得是平面的一个法向量．

　　又，

　　∴点到平面的距离．

　　评注：求线面距、面面距时，可先转化为点面距，再用此法求解．

　　（四）求异面直线的距离

　　方法：先求出同时与两异面直线垂直的向量n，然后在两异面直线上分别任取点Ａ、Ｂ，则。

　　例6　已知正方体的棱长为1，求直线与的距离．

　　解：建立坐标系，如图9所示．

　　则点，

　　则，

　　设为与与同时垂直的向量，

　　即．故为其中一个向量，

　　．

　　所以直线与的距离为．