2021学年2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步测试题
展开平面向量的实际背景及基本概念
编稿:丁会敏 审稿:王静伟
【学习目标】
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的含义,理解向量的几何表示的意义和方法.
3.掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念,会表示向量.
4.理解两个向量共线的含义.
【要点梳理】
要点一:向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.
要点诠释:
(1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
(2)看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
(3)向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
要点二:向量的表示法
1.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一条有向线段表示向量,通常我们就说向量.
要点诠释:
(1)用字母表示向量便于向量运算;
(2)用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
要点三:向量的有关概念
1.向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
要点诠释:
(1)向量的模.
(2)向量不能比较大小,但是实数,可以比较大小.
2.零向量:长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的.
3.单位向量:长度等于1个单位的向量.
要点诠释:
(1)在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定;
(2)将一个向量除以它的模,得到的向量就是一个单位向量,并且它的方向与该向量相同.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
要点诠释:
在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.
要点四:向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释:
1.零向量的方向是任意的,注意0与0的含义与书写区别.
2.平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3.共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量.
【典型例题】
类型一:向量的基本概念
例1.下列各题中,哪些是向量?哪些不是向量?
(1)密度;(2)浮力;(3)风速;(4)温度.
【思路点拨】抓住向量的两个特征:长度和方向进行辨析.
【解析】浮力和风速既有大小又有方向,所以是向量,其他的量只有大小没有方向,不是向量.故(2)(3)是向量,(1)(4)不是向量.
【总结升华】 实际问题中的一些量,如温度、电量等,尽管它们有正、负之分,但没有方向,故表示数量,而向量是一个既有大小又有方向的量,如位移、速度、加速度、力等.向量和数量是有本质区别的两个概念.
举一反三:
【变式1】下列物理量中,不能称为向量的是( )
A. 质量 B. 速度 C.位移 D.力
【答案】 A
例2.下列说法正确的是( ).
A.向量与是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上
B.向量与平行,则与的方向相同或相反
C.向量的长度与向量的长度相等
D.单位向量都相等
【思路点拨】本题考查向量的有关概念.
【答案】 C
【解析】对于A,考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上,有向线段共线要求线段必须在同一直线上.而向量共线时,表示向量的有向线段可以是平行的,不一定在同一直线上.A错.
对于B,由于零向量与任意向量平行,因此若,中有一个为零向量时,其方向是不确定的.B错.
对于C,向量与向量方向相反,但长度相等.C对.
对于D,需要强调的是,单位向量不仅仅指的是长度,还有方向,而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同.D错.
【总结升华】上述概念性试题,关键是把握好概念的内涵与外延,对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚,如有向线段与向量,有向线段是向量的几何表现形式,并不能等同于向量.还有如单位向量,任何一个非零向量都有单位向量,若以2 cm为1个单位,则长度为1 cm的向量便不是单位向量.
举一反三:
【高清课堂:平面向量的实际背景及基本概念402589例2】
【变式1】判断下列命题的正误:
(1)零向量与非零向量平行;
(2)长度相等方向相反的向量共线;
(3)若向量与向量不共线,则与都是非零向量;
(4)若两个向量相等,则它们的起点、方向、长度必须相等;
(5)若两个向量的模相等,则这两个向量不是相等向量就是相反向量?
(6)若非零向量是共线向量,则A、B、C、D四点共线;
(7)共线的向量一定相等;
(8)相等的向量一定共线.
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法正确的个数是( )
①向量,则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等;
③向量既是有向线段;
④在平行四边形中,一定有.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
类型二:向量的表示方法
例3.在如图所示的坐标系中,用直尺和圆规画出下列向量.
(1),点A在点O正西方向;
(2),点B在点O北偏西45°方向;
(3),点C在点O南偏东60°方向.
【解析】 如图所示.
【总结升华 】准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
例4.如下图,E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点,分别指出图中:
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量平行的向量;
(3)与向量模相等的向量;
(4)与向量模相等、方向相反的向量.
【解析】(1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有、、、、.
(3)与向量模相等的向量有、、.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有、.
举一反三:
【变式1】如图,点D、E、F分别是△ABC的各边中点.在右图所示向量中,
(1)写出与,,相等的向量;
(2)写出模相等的向量.
【解析】(1),,.
(2),,.
【变式2】 (1)与向量相等的向量有多少个?并把这些向量写出来.
(2)是否存在与向量长度相等、方向相反向量?
(3)与向量共线的向量有哪些?
【解析】(1)3个 、、(2)存在 、、、
(3)向量共线的向量有:、、、、、、.
类型三:利用向量相等或共线进行证明
例5. 如图所示,四边形ABCD中,,N、M分别是AD、BC上的点,且.
求证:.
【思路点拨】证明,要证明这两个向量的方向相同和大小相等.
【证明】 ∵,∴且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴且DA∥CB.
又∵与的方向相同,∴.
同理可证,四边形CNAM是平行四边形,∴.
∵,,∴,
又与的方向相同,∴.
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系.若,则且AB∥CD.
举一反三:
【变式1】如图,在△ABC中,已知向量,,求证:.
【解析】因为,所以D为AB的中点.又,所以DF∥BE且DF=BE,所以F为AC的中点,则DF是△ABC的中位线,从而E是BC的中点,所以DE∥AF,且DE=AF.又DE与AF不共线,所以.
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