《离散型随机变量的均值与方差》文字素材1（人教A版选修2-3）
展开《离散型随机变量的均值与方差》高考考点剖析
数学期望与方差都是离散型随机变量最重要的特征数，它们都是建立在分布列基础之上的，数学期望与方差是高考的重点，具体内容是如下：
一、 基本考点剖析
（1）、基本公式：
1、 离散型随机变量X的期望：……
2、 离散型随机变量X的方差：
DX=(
3、 若X为随机变量， 则E(aX+b)=aEX+b. D(aX+b)=a
4、 若X服从两点分别，则DX=p(1－p)
5、 若X～B(n,p),则DX=np（1－p）
（2）、基本方法：求期望方差的关键是求X的分步列，即首先确定X的取值及相应取值下的频率。概率分布通常是由等可能事件、随机事件、互斥事件、对立事件、独立事件、独立重复事件等引起的，在计算相应的概率前要确定事件类型。求离散型随机变量的分别列，要求必须正确地求出相应事件的个数，即正确求出相应的排列组合数，所以必须掌握好排列组合的知识。应用期望与方差解决实际应用问题是高考的重点。近几年期望与方差常常与其他的知识综合考查。
（3）、注意的两点：注意知识之间的内在联系：1、随机变量X的分步列是用定义计算期望EX和方差的先决条件；2、方差与期望之间有密切的关系，按定义求随机变量X的方差DX，必先求得X的期望EX。
（4）、思想方法：1、概率的思想,理解、计算期望和方差，离不开概率和概率思想。2、随机变量的期望与方差的概念是由大量具体的实例抽象概括出来的，特别是服从两点分别与二项分别的期望与方差能得出解的计算公式。
二、典型例题
例1、（2005全国卷）设为平面上过点（0，1）的直线，的斜率等可能的取
－2用X表示坐标原点到的距离，则随机变量X的数学期望EX=_________
解：当的斜率为时，直线方程为此时当为
时，当为时，当为0时，由等可能事件的概率公式可得分步列如下：
X |
| 1 | ||
P |
所以：EX=× ＋×＋×＋1 ×＝
点评：本题主要考查了以解析几何为载体，等可能事件的概率及随机变量的数学期望，关键是求出随机变量及分步列。
例2、（2005湖南卷）某城市有甲乙丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景区的概率分别为，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）、求X的分步列及数学期望。
（2）、记“函数在区间[2,+上单调递增”为事件A,求事件A的概率。
解 (1)、分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A由已知A相互独立，P(A
客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3。相应的。客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0。所以X的可能取值为1、3。
P(X=3)=P(A)+P()=
=2
P(X=1)=1－0.24＝0.76,
所以X的分步列为：
X | 1 | 3 |
P | 0.76, | 0.24 |
EX=1×0.76＋3×0.24＝1.48
(2)、X的可能取值为1、3。
X=1时，函数在区间[2,+ 上单调递增。
X=3时，函数在区间[2,+ 上不是单调递增
所以P(A)=P(X=1)=0.76.
点评：本题考查概率的基本知识和期望等概念及解决实际问题的能力，切入点是准确求出分步列，其中（2）问与二次函数的单调性结合，成为该题的亮点。
例3、（2005全国卷）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑内至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，写出X的分布列并求X的数学期望。
解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1－所以单个坑不需要补种的概率为1－
3个坑都不需要补种的概率为：C
恰有1个坑需要补种的概率为：C
恰有2个坑需要补种的概率为：C
3个坑都需要补种的概率为：C
补种费用X的分布列为：
X | 0 | 10 | 20 | 30 |
P | 0.670 | 0.287 | 0.041 | 0.002 |
X的数学期望为： EX=0×0.670＋10×0.287+20×0.041+30×0.002＝3.75
点评：求解离散型随机变量的期望的应用题时，首先仔细的分析题意，当概率分布不是一些熟习的类型（两点分布、二项分布等）时，应全面的剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率。
