2021学年2.4正态分布习题
展开一、选择题
1.下列函数中,可以作为正态分布密度函数的是( )
A.f(x)=eq \f(1,\r(2π))e-eq \f((x-1)2,2)
B.f(x)=eq \f(1,\r(2π)·σ)eeq \f((x-2)2,2σ2)
C.f(x)=eq \f(1,\r(2πσ))e-eq \f((x-μ)2,2σ2)
D.f(x)=eq \f(1,2π)e-eq \f((x-μ)2,2π)
[答案] A
2.已知ξ~N(0,62),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于( )
A.0.1 B.0.2
C.0.6 D.0.8
[答案] A
[解析] 由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)=0.4,∴P(-2≤ξ≤2)=0.8,∴P(ξ>2)=eq \f(1,2)(1-0.8)=0.1,故选A.
3.若随机变量ξ~N(2,100),若ξ落在区间(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,则k等于( )
A.2 B.10
C.eq \r(2) D.可以是任意实数
[答案] A
[解析] 由于ξ的取值落在(-∞,k)和(k,+∞)内的概率是相等的,所以正态曲线在直线x=k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等,于是正态曲线关于直线x=k对称,即μ=k,而μ=2.∴k=2.
4.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )
A.(90,110] B.(95,125]
C.(100,120] D.(105,115]
[答案] C
[解析] 由于X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.
因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.
由于一共有60人参加考试,
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是:
60×0.6826≈41人,60×0.9544≈57人,
60×0.9974≈60人.
5.(2010·山东理,5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
A.0.477 B.0.628
C.0.954 D.0.977
[答案] C
[解析] ∵P(ξ>2)=0.023,∴P(ξ<-2)=0.023,
故P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.954.
6.以φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布(μ,σ2),则概率P(|ξ-μ|<σ)等于( )
A.φ(μ+σ)-φ(μ-σ)
B.φ(1)-φ(-1)
C.φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-μ,σ)))
D.2φ(μ+σ)
[答案] B
[解析] 设η=eq \f(|ξ-μ|,σ),则P(|ξ-μ|<σ)=P(|η|<1)
=φ(1)-φ(-1).
[点评] 一般正态分布N(μ,σ2)向标准正态分布N(0,1)转化.
7.给出下列函数:①f(x)=eq \f(1,\r(2π)σ)e-eq \f((x+μ)2,2σ2);②f(x)=eq \f(1,\r(2π))e-eq \f((x-μ)2,4);③f(x)=eq \f(1,\r(2)·\r(2π))e-eq \f(x2,4);④f(x)=eq \f(1,\r(π))e-(x-μ)2,其中μ∈(-∞,+∞),σ>0,则可以作为正态分布密度函数的个数有( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析] 对于①,f(x)=eq \f(1,\r(2π)σ)e-eq \f((x+μ)2,2σ2).由于μ∈(-∞,+∞),所以-μ∈(-∞,+∞),故它可以作为正态分布密度函数;对于②,若σ=1,则应为f(x)=eq \f(1,\r(2π))eeq \f(-(x-μ)2,2).若σ=eq \r(2),则应为f(x)=eq \f(1,\r(2π)·\r(2))e-eq \f((x-μ)2,4),均与所给函数不相符,故它不能作为正态分布密度函数;对于③,它就是当σ=eq \r(2),μ=0时的正态分布密度函数;对于④,它是当σ=eq \f(\r(2),2)时的正态分布密度函数.所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数.
8.(2008·安徽)设两个正态分布N(μ1,σeq \\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2,σeq \\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
[答案] A
[解析] 根据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示总体分布的分散与集中.由图可得,故选A.
二、填空题
9.正态变量的概率密度函数f(x)=eq \f(1,\r(2π))e-eq \f((x-3)2,2),x∈R的图象关于直线________对称,f(x)的最大值为________.
[答案] x=3 eq \f(1,\r(2π))
10.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为________.
[答案] 1
[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.
∵区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以正态分布的数学期望就是1.
11.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为____________.
[答案] 0.8
[解析] ∵μ=1,∴正态曲线关于直线x=1对称.
∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等.
12.(2010·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032),为使该厂生产的产品有95%以上的合格率,则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________.
[答案] (24.94,25.06)
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25-2×0.03,25+2×0.03)取值的概率在95%以上,故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06).
三、解答题
13.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于eq \f(1,4\r(2π)).求该正态分布的概率密度函数的解析式.
[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象即正态曲线关于y轴对称,即μ=0.而正态密度函数的最大值是eq \f(1,\r(2π)·σ),所以eq \f(1,\r(2π)·σ)=eq \f(1,\r(2π)·4),因此σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ,σ(x)=eq \f(1,4\r(2π))e-eq \f(x2,32),x∈(-∞,+∞).
14.(2010·邯郸高二检测)设随机变量ξ~N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ
①ξ~N(2,9),②P(ξ>c+1)=P(ξ
[解析] 由ξ~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(ξ>c+1)=P(ξ
∴c=2.
[点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用:
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1;
(2)正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
(3)P(xP(x<μ-a)=P(x≥μ+a)
若b<μ,则P(x15.某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202),该工厂共有1200名工人,试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少?
[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ,则ξ~N(500,202),所以μ=500,σ=20,
所以月收入在区间(500-3×20,500+3×20)内取值的概率是0.9974,该区间即(440,560).
因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1-0.9974)=1200×0.0026≈3(人).
16.已知某种零件的尺寸ξ(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)=eq \f(1,8\r(2π)).
(1)求概率密度函数;
(2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几?
[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得μ=80.
eq \f(1,\r(2π)·σ)=eq \f(1,8\r(2π)),所以σ=8.
故概率密度函数解析式是φμ,σ(x)=eq \f(1,8\r(2π))e-eq \f((x-80)2,128).
(2)尺寸在72mm~88mm之间的零件的百分率,即在(80-8,80+8)之间的概率为68.28%.
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