数学必修41.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

                     临清三中数学组  编写人：桑立红  

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质

【教材分析】

    《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】

1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数

的值域

　　2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．

　　3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．

【教学重点难点】

教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

　　教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域

【学情分析】

知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课前准备】

1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

（一）问题情境

复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？

生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点

引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？

生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

提出本节课学习目标——定义域与值域

（二）探索研究

给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).

2.值域

(1)值域

因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,

所以,

即

也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.

(2)最值

正弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

3.周期性

由知:

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,

都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.

由此可知,都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

由

可知:()为奇函数,其图象关于原点对称

()为偶函数,其图象关于轴对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是,

对称轴是直线;

余弦函数的对称中心是,

对称轴是直线

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).

6.单调性

从的图象上可看出:

当时,曲线逐渐上升,的值由增大到

当时,曲线逐渐下降,的值由减小到

结合上述周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

三、例题分析

例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．

解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．

解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]．

由  ≤2x+≤得   ≤x≤

故函数y=sinz的单调增区间为  [， ]（ｋ∈Ｚ）

点评：“整体思想”解题

变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间

解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，]

故函数sin(-2x+)的单调增区间为[ ， ]（ｋ∈Ｚ）．

例2：判断函数的奇偶性

解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．

解：∵=，

    ∴ 

   所以函数为偶函数．

点评：判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．

变式训练2. )

解：函数的定义域为R，

  =

        ===

所以函数）为奇函数．

例3. 比较sin2500、sin2600的大小

解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小

解：∵y=sinx在[，]（k∈Z），上是单调减函数， 

       又   2500<2600 ∴ sin2500>sin2600

点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单  调区间，运用单调性即可，若比较复杂，

先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．

变式训练3. cos

解：cos

由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

课堂小结：

1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题

2、数学思想方法：数形结合、整体思想。

达标检测：

一、选择题

1.函数的奇偶数性为（　　　）.

A.　奇函数　　　　　　　　　B.　偶函数

C．既奇又偶函数　　　　　　　 D.　非奇非偶函数

2.下列函数在上是增函数的是（　　　）

A. y=sinx                      B. y=cosx

C. y=sin2x                     D. y=cos2x

3.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（　　）.

A.                    B.

C.                    D.

二、填空题

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。

①　　　②　  ③   ④

__________________________________________________________

5.不等式≥的解集是______________________.

三、解答题

6.求出数的单调递增区间.

参考答案：1、A    2、D    3、A  4、④ 

5、 6、

六、发导学案、布置预习。

如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，求a的值．

七、板书设计

正弦函数和余弦函数的性质

一、正弦函数的性质                                   例1

二、余弦函数的性质                                   例2

定义域、值域、单调、奇偶、周期对称                    例3 

八、教学反思

（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。

（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来，很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。

（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。

九、学案设计(见下页)

                         临清三中数学组  编写人：桑立红  

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质

课前预习学案

一、预习目标

探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.

二、预习内容

1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.

2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.

3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.

4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.

5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.

6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.

7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.

8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.

9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.

10.正弦函数的周期是___________________________.

11.余弦函数的周期是___________________________.

12.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是_____________,最小值是_________________.

13.y=-3cos2x取得最大值时的自变量x的集合是_________________.

14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________

　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　，　　　　　　

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域

学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。

二、学习过程

例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．

解：

变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间

解：

例2：判断函数的奇偶性

解：

变式训练2. )

解：

例3. 比较sin2500、sin2600的大小

解：

变式训练3. cos

解：

三、反思总结

1、数学知识：

2、数学思想方法：

四、当堂检测

一、选择题

1.函数的奇偶数性为（　　　）.

A.　奇函数　　　　　　　　　B.　偶函数

C．既奇又偶函数　　　　　　　 D.　非奇非偶函数

2.下列函数在上是增函数的是（　　　）

A. y=sinx                      B. y=cosx

C. y=sin2x                     D. y=cos2x

3.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（　　）.

A.                    B.

C.                    D.

二、填空题

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。

①　　　②　  ③   ④

__________________________________________________________

5.不等式≥的解集是______________________.

三、解答题

6.求出数的单调递增区间.

课后练习与提高

一、选择题

1．y=sin(x-)的单调增区间是（    ）

A.  [kπ-,kπ+]  (k∈Z)        B.  [2kπ-,2kπ+ ](k∈Z)

C.  [kπ-, kπ-]  (k∈Z)        D.  [2kπ-,2kπ-] (k∈Z)

2．下列函数中是奇函数的是（    ）

A.  y=-|sinx|    B.  y=sin(-|x|)    C.  y=sin|x|     D.  y=xsin|x|

3．在 (0,2π) 内，使 sinx>cosx 成立的x取值范围是（   ）

A .(,)∪( π, )            B. ( ,π)                  

C.  ( ,)                  D.( ,π)∪( ,)

二、填空题

4．Cos1,cos2,cos3的大小关系是______________________.

5．ｙ=sin(3x-)的周期是__________________.

三、解答题

6．求函数y=cos2x - 4cosx + 3的最值