高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算精练

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算精练，

【考点13】 空间向量及其运算1．（2009·安徽卷·文·11）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_______ 2．（2009·海南宁夏卷·理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．3．（2009·浙江卷·理20）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边 的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的 中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．4．（2008全国Ⅱ，10）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 （ ） A． B． C． D．5．（2007广东，19，14分）如图题2所示， 等腰△ABC的底边B=，高 CD=3．点E是线段BD上异于点B、D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记，表示四棱锥P-ACFE的体积． （1）求的表达式； （2）当为何值时，取得最大值？ （3）当取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．6．（2008福建，18）如图题3，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧 棱=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点． （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）求异面直线PB与CD所成角的大小； （3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．7．（2008全国Ⅰ，11） 已知三棱柱 的侧 棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则与底面ABC所成角的正弦值等于 （ ） A． B． C． D．8．（2008福建，6）如图题7，在长方体ABCD中，AB=BC=2，，则与平面所成角的正弦值为 （ ） A． B． C． D．9．（2007北京，16，14分）如图题6，在△AOB 中，∠，斜边，△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上． （1）求证：平面COD⊥平 面AOB； （2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （3）求CD与平面AOB所成角的最大值．10．（2008·海南、宁夏高考题）如图题7，书已知点在正方体ABCD-的对解线上，∠． （1）求DP与所成角的大小； （2）求DP与平面所成角的大小．高考真题答案与解析数 学（理）【考点13】 空间向量及其运算1．【解析】设，则由得，解得．即M的坐标是2．【解法一】 （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意．在正方形ABCD中，，所以,得． (Ⅱ)设正方形边长，则．又，所以, 连，由（Ⅰ）知,所以, 且,所以是二面角的平面角．由,知,所以,即二面角的大小为．（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为．连BN．在中知，又由于,故平面，得,由于,故．【解法二】（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知．以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．设底面边长为，则高． 于是 , ,, 故 从而 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（Ⅲ）在棱上存在一点使．由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且设 则 而 ，即当时，而不在平面内，故3．【证明】（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则 ，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．4．答案：C 【解析】令正四棱锥的棱长为2，则， B（1，1，0），D（-1，-1，0），S（0，0，），E，，=（-1，-1，），∴ =，∴AE、SD所成的角的余弦值为，故选C．5．【解析】：（1）EF⊥AB，∴EF⊥PE．又∵PE⊥AE，，且PE在平面ACFE外，∴PE⊥平面ACFE．∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD．∴ ∴四边形ACFE的面积 =××． ∴四棱锥P-ACFE的体积· PE=即 -（0）． （2）由（1）知令 ．∵当时， 当时，，∴当BE= 时，有最大值，最大值为= ． （3）解法一：如图，以点E为坐标原点，向量、、分别为、、轴的正向建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），P（0，0，6），F（0，，0），，C（，3，0）． 于是，（0，，-6）． AC与PF所成角的余弦为= ==． ∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为． 解法二：过点F作FG∥AC交AE于点Ｇ，连结ＰＧ，则∠PFG为异面直线AC与PF所成的角．∵△ABC是等腰三角形，∴△GBF也是等腰三角形．于是FG=BF=PF== ，从而 =．在△GPF中，根据余弦定理得∠． 故异面直线AC与PF所成角的余弦值为6．【解析】解法一：（1）证明：在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD． （2）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC．由（1）知，PO⊥PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．因为AD=2AB=2BC=2，在△AOB中，AB=1，AO=1，所以，在△POA中，因为，AO=1，所以OP=1，在△PBO中，∠=，∠ =所以异面直线PB与CD所成的角是 （3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．设，则，则（2）得，在△POC中，PC= ，所以=DP， ，则= ，得××1=××，解得 =，所以存在点Q满足题意，此时 （2）以O为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，易得A（0，-1，0）B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0） P（0，0，1），所以=（-1，1，0），=（1，-1，-1），== ，所以异面直线PB与CD所成的角是 （3）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 由（2）知，（-1，1，0）． 设平面PCD的法向量为， 则所以 即，取，得平面PCD的一个法向量为（1，1，1）．设Q（0，，0）（-11），=（-1，，0），由 ，得，解得或者（舍去），此时，，以存在点Q满足题意，此时7．答案：B 【解析】可设底面 边长与侧棱长为1个单位长度，因为在底面ABC内的射影为△ABC的中心，所以三棱锥 为正四面体，所以到底面ABC的距离为，所以到底面的距离为，易知∠，所以，所以与底面ABC所成角的正弦值为故选B．8．答案：D 【解析】连结 ，设 =O，连结OB． 由已知得 ⊥面，∴∠为所求角，在△中，得∠ ，故选D．9．【解析】：（1）由题意，⊥，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角是直二面角，∴CO⊥BO，又∵，∴CO⊥平面AOB，又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB． （2）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角． 在中，CO=BO=2，BO=1，∴．又AO=，∴在中，∠，∴ 异面直线AO与CD所成角的大小为 解法二：建立空间直角坐标系，如图，则O（0，0，0），A（0，0，），C（2，0，0），D（0，1，），∴=（0，0，），=（-2，1，），∴==，∴异面直线AO与CD所成角的大小为 （3）由（1）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且∠= 当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D， ∠，∴CD与平面AOB所成角的最大值为10．【解析】如图42-8，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系 则=（1，0，0），，连接BD、 ．在平面中，延长DP交于H． 设 由已知， 由， 可得． 解得，所以． （1）因为，即DP与所成的角为． （2）平面的一个法向量是=（0，1，0）． 因为 所以， 可得DP与平面所成的角为300．