2021学年三 圆的切线的性质及判定定理背景图课件ppt

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【课标要求】1．理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．2．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理．【核心扫描】1．圆的切线的判定定理、性质定理的理解．(重点)2．用切线的判定定理、性质定理解决问题．(难点)
自学导引1．圆的切线的性质定理及推论(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 ．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ．
推敲引申：(1)本定理及其两个推论可以用一个定理叙述出来，即：如果圆的一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那么就一定满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．(2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点O、A，则直线l′⊥l.
2．圆的切线的判定定理(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于的直线是圆的切线．(2)圆的切线的判断方法
推敲引申：(1)圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这条半径，那么这条直线就是这个圆的切线．(2)判断一条直线是否是切线的三种方法中：②③是由①推出的；②是用数量关系来判断；③是用位置关系来判断．
名师点睛1．直线与圆的位置关系的性质和判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔dr(如图(3)所示)．
说明：(1)命题左边反映的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系．(2)对于两个图形(直线l和⊙O)的位置关系，或两个数(d和r)的大小关系，有且仅有一种情况是成立的．(3)从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定．
2．圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题(无论是计算还是证明)时，通常需要添加辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律：(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线．(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．
题型一　圆的切线的判断【例1】 如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．[思维启迪] 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．
证明　连接OD和AD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．反思感悟　判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．
【变式1】 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径．求证：⊙O与CD相切．
题型二　圆的切线性质定理的应用【例2】 如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证：RP＝RQ.[思维启迪] 已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理，即OQ⊥RQ.另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可，只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.
证明　连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB.因为BO⊥OA，所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，∠PQR＝90°－∠OQP.所以∠RPQ＝∠PQR.所以RP＝RQ.反思感悟　题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出现垂直关系．
【变式2】 如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AD是弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，求∠ABD的度数．解　∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.∴△ABC是直角三角形．∵CD＝AD，∴BD＝AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD.∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠ABD＝45°.
反思感悟　(1)用切线的性质定理求解线段的长度时，应注意的问题①观察图形，作辅助线；②利用相关知识，如圆周角定理、圆的切线性质定理、判定定理等．(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的方法．
方法技巧　圆内接四边形与圆的切线综合的求解策略【示例1】 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
(1)证明　连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．
(2)解　由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
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