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2020-2021学年五 与圆有关的比例线段评课ppt课件
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这是一份2020-2021学年五 与圆有关的比例线段评课ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了两条线段长的积，PC·PD，比例中项，PA·PB，答案C等内容，欢迎下载使用。
【课标要求】1．经历相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的探究过程，体会运动变化思想，认识四条定理的内在联系．2．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，能应用四条定理解决相关的几何问题．3．通过探究，进一步体会运动变化思想，体验数学探究的过程．【核心扫描】1．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理．(重点)2．运用这些定理解决相关的几何问题．(难点)
自学导引1．相交弦定理(1)定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的 相等．(2)如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝________.
2．割线定理(1)定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_____相等．(2)如果PA和PC是圆的两条割线，与圆分别交于点B、A和D、C，则PA·PB＝_________.
3．切割线定理(1)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的___________．(2)如图所示，PBA是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，则PC2＝__________.
4．切线长定理(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_______．(2)如图所示，PA、PC是⊙O的切线，则有PA＝______.
名师点睛1．相交弦定理的证明过程是利用了分类讨论思想进行分析的，也可以理解为由特殊到一般的过程进行分析的．2．割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握．3．要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样．
4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点．(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．(3)深刻理解结论：由于圆是轴对称图形，在图中若再连接AB与OP交于点C，则存在射影定理的基本图形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，PA2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.
题型一 相交弦定理的应用【例1】 在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )． A．3 cm B．27 cmC．12 cm D．6 cm[思维启迪] 准确使用相交弦定理解决此题．
反思感悟 用相交弦定理解决此类问题步骤：①结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；②正确应用相交弦定理列出关系式；③代入数值运算，求出正确的答案．
【变式1】 如图所示，已知AP＝3 cm，PB＝5 cm，CP＝2.5 cm，求CD.解 由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.将PA＝3 cm，PB＝5 cm代入上式，得PD＝6 cm.所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．
题型二 切割线定理的应用【例2】 如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求:(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.
反思感悟 (1)应用切割线定理的一般步骤：①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；②找准相关线段的长度，列出等式；③解方程，求出结果．(2)应用切割线定理及割线定理的前提条件：只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
【变式2】 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm、4 cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．
题型三 切线长定理的应用【例3】 如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C为AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，△PDE的周长为8 cm，且∠DOE＝70°，求(1)PA的长；(2)∠P的度数．[思维启迪] 利用切线长定理解决此题．
解 (1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切线长定理”可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC.所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm.所以2PA＝8 cm，PA＝4 cm.
(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，所以∠P＝180°－140°＝40°.
反思感悟 切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角．解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连结切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线．
【变式3】 如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分别与⊙O切于点D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析 如图所示，分别连接OD，OE、OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．
设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案 12
高考在线 与圆有关的比例线段的考查考点点击 高考题在这部分可能与圆的切线、以及其他知识综合出现，以前在中考中此部分是考查的重点，现在放在高中部分，虽不是高考的重点，但有可能出现在选择题、填空题中，且难度较小．
【考题1】 (2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )．A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2解析 ∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB.答案 A 反思感悟 本题考查直角三角形射影定理．切割线定理等基础知识，考查推理论证能力．
反思感悟 本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．
【考题3】 (2010·陕西高考)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
【课标要求】1．经历相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的探究过程，体会运动变化思想，认识四条定理的内在联系．2．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，能应用四条定理解决相关的几何问题．3．通过探究，进一步体会运动变化思想，体验数学探究的过程．【核心扫描】1．理解相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理．(重点)2．运用这些定理解决相关的几何问题．(难点)
自学导引1．相交弦定理(1)定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的 相等．(2)如图所示，AB、CD是⊙O的两条弦，AB、CD相交于点P，则PA·PB＝________.
2．割线定理(1)定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_____相等．(2)如果PA和PC是圆的两条割线，与圆分别交于点B、A和D、C，则PA·PB＝_________.
3．切割线定理(1)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的___________．(2)如图所示，PBA是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，则PC2＝__________.
4．切线长定理(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_______．(2)如图所示，PA、PC是⊙O的切线，则有PA＝______.
名师点睛1．相交弦定理的证明过程是利用了分类讨论思想进行分析的，也可以理解为由特殊到一般的过程进行分析的．2．割线定理是圆中的比例线段，在证明割线定理时所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地把握．3．要真正弄懂切割线定理的数量关系，把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样．
4．(1)切线长定理在证明线段相等、角相等及垂直关系中占有重要地位，故为重点．(2)“切割线定理”和“切线长定理”实际上是割线定理的特例．(3)深刻理解结论：由于圆是轴对称图形，在图中若再连接AB与OP交于点C，则存在射影定理的基本图形，于是有AC2＝BC2＝PC·OC，PA2＝PB2＝PC·PO，AO2＝BO2＝OC·OP.
题型一 相交弦定理的应用【例1】 在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )． A．3 cm B．27 cmC．12 cm D．6 cm[思维启迪] 准确使用相交弦定理解决此题．
反思感悟 用相交弦定理解决此类问题步骤：①结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；②正确应用相交弦定理列出关系式；③代入数值运算，求出正确的答案．
【变式1】 如图所示，已知AP＝3 cm，PB＝5 cm，CP＝2.5 cm，求CD.解 由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD.将PA＝3 cm，PB＝5 cm代入上式，得PD＝6 cm.所以CD＝CP＋PD＝6＋2.5＝8.5(cm)．
题型二 切割线定理的应用【例2】 如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求:(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.
反思感悟 (1)应用切割线定理的一般步骤：①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；②找准相关线段的长度，列出等式；③解方程，求出结果．(2)应用切割线定理及割线定理的前提条件：只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
【变式2】 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm、4 cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．
题型三 切线长定理的应用【例3】 如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C为AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，△PDE的周长为8 cm，且∠DOE＝70°，求(1)PA的长；(2)∠P的度数．[思维启迪] 利用切线长定理解决此题．
解 (1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切线长定理”可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC.所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm.所以2PA＝8 cm，PA＝4 cm.
(2)连接OA、OB、OC，则PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°.由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°，所以∠P＝180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)．由已知∠6＋∠7＝70°，所以∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°，所以∠P＝180°－140°＝40°.
反思感悟 切线上一点到切点的距离为切线长，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角．解此题第(2)问时，注意四边形内角和这一隐含条件的使用，当已知条件中有切线时，通常连结切点和圆心，以便使用“垂直”这一结论，这也是切线问题常用的辅助线．
【变式3】 如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC、BC、AB分别与⊙O切于点D、E、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析 如图所示，分别连接OD，OE、OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．
设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案 12
高考在线 与圆有关的比例线段的考查考点点击 高考题在这部分可能与圆的切线、以及其他知识综合出现，以前在中考中此部分是考查的重点，现在放在高中部分，虽不是高考的重点，但有可能出现在选择题、填空题中，且难度较小．
【考题1】 (2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )．A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2解析 ∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB.答案 A 反思感悟 本题考查直角三角形射影定理．切割线定理等基础知识，考查推理论证能力．
反思感悟 本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应用．
【考题3】 (2010·陕西高考)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
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