高中数学三 圆的切线的性质及判定定理同步练习题

课时跟踪检测(八)  圆的切线的性质及判定定理

一、选择题

1.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C等于(　　)

A．20°　　  B．25°  C．40°   D．50°

解析：选B　连接OB，因为AB切⊙O于点B，

所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，

所以∠AOB＝50°，

又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，

所以∠C＝∠AOB＝25°.

2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.若AB＝6，BC＝8，则BD等于(　　)

A．4   B．4.8

C．5.2   D．6

解析：选B　∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.

∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.

∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.

∴BD＝＝4.8.

3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　)

A．DE＝DO  B．AB＝AC  C．CD＝DB   D．AC∥OD

解析：选A　当AB＝AC时，如图，

连接AD，因为AB是⊙O的直径，

所以AD⊥BC，所以CD＝BD.

因为AO＝BO，

所以OD是△ABC的中位线，

所以OD∥AC.

因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，

所以DE是⊙O的切线．

所以选项B正确．

当CD＝BD时，AO＝BO，

同选项B，所以选项C正确．

当AC∥OD时，因为DE⊥AC，

所以DE⊥OD.

所以DE是⊙O的切线．

所以选项D正确．

4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选A　连接BD，则BD⊥AC.

∵AD＝DC，∴BA＝BC，

∴∠BCA＝45°.

∵BC是⊙O的切线，切点为B，

∴∠OBC＝90°.

∴sin ∠BCO＝＝＝，

cos ∠BCO＝＝＝.

∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)

＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO

＝×－×＝.

二、填空题

5.如图，⊙O的半径为3 cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时，BP与⊙O相切．

解析：连接OP.

当OP⊥PB时，BP与⊙O相切．

因为AB＝OA，OA＝OP，

所以OB＝2OP，

又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，

所以∠O＝60°.

因为OA＝3 cm，

所以＝＝π，圆的周长为6π，

所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；

所以当t＝1 s或5 s时，BP与⊙O相切．

答案：1或5

6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.

解析：

如图，连接AB，

则AB＝＝.

由AB2＝PB·BC，

∴BC＝3，在Rt△ABC中，

AC＝＝2.

∴半径R＝.

答案：

7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝________，DC＝________.

解析：连接OC.

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.

又∠DCA＋∠ACO＝90°，

∠ACO＋∠OCB＝90°，

∴∠DCA＝∠OCB.

∵OC＝3，BC＝3，

∴△OCB是正三角形．

∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.

∴∠DAC＝30°.

在Rt△ACB中，AC＝＝3，

DC＝ACsin 30°＝.

答案：30°　

三、解答题

8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.

求证：(1)DE⊥AC；

(2)BD2＝CE·CA.

证明：(1)连接OD，AD.

∵DE是⊙O的切线，D为切点，

∴OD⊥DE.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.又AB＝AC，

∴BD＝DC.又O为AB的中点，

∴OD∥AC.∴DE⊥AC.

(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，

∴△CDE∽△CAD.

∴＝.∴CD2＝CE·CA.

又∵BD＝DC，∴BD2＝CE·CA.

9.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，AB＝AC，连接AD交⊙O于H，直线FH交BC的延长线于G.

(1)求证：圆心O在AD上；

(2)求证：CD＝CG；

(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求FH的长．

解：(1)证明：由题知AE＝AF，

CF＝CD，BD＝BE，

又∵AB＝AC，

∴CD＝CF＝BE＝BD.

∴D为BC中点．

∴AD是∠BAC的角平分线．

∴圆心O在AD上．

(2)证明：连接DF.

∵O在AD上，∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.

∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC.

∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.

∴CG＝CF.∴CG＝CD.

(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，

又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.

∴＝＝.

∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5.

∵△HDF∽△DGF，

∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.

∴DF＝3×20×＝12，∴FH＝FD＝9.

10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．

解：(1)证明：连接OA.

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA＝∠EDA.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD.

∴∠OAD＝∠EDA.

∴OA∥CE.

∵AE⊥DE，

∴AE⊥OA.

∴AE是⊙O的切线．

(2)∵BD是直径，

∴∠BCD＝∠BAD＝90°.

∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.

∴∠BDE＝120°.

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA＝∠EDA＝60°.

∴∠ABD＝∠EAD＝30°.

在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，

∴AD＝2DE.

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，

∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．