数学必修11.2函数的概念和性质学案

1．函数y＝＋的定义域为(　　)

A．(－∞，1]　　　　　　　　 B．[0，＋∞)

C．(－∞，1]∪[0，＋∞)   D．[0,1]

解析：选D.要使函数有意义须，解得0≤x≤1，故选D.

2．函数y＝的值域是(　　)

A．(－∞，)∪(，＋∞)   B．(－∞，)∪(，＋∞)

C．R   D．(－∞，)∪(，＋∞)

解析：选B.∵y＝＝＝＋，

∴y≠.

3．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为(　　)

A．[2a，a＋b]   B．[0，b－a]

C．[a，b]   D．无法确定

解析：选B.由a≤x＋a≤b，得0≤x≤b－a，

∴f(x＋a)的定义域为[0，b－a]．

4．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x＋2)的定义域是________，值域是________．

解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，

∴0≤x＋2≤1，∴－2≤x≤－1，

即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]；

值域仍然为[1,2]．

答案：[－2，－1]　[1,2]

5．(2011年高考安徽卷)函数y＝的定义域为________．

解析：要使函数有意义，只须6－x－x2＞0，

∴x2＋x－6＜0，∴－3＜x＜2.

答案：{x|－3＜x＜2}

一、选择题

1．函数f(x)＝＋定义域为(　　)

A．{1}   B．{－1}

C．{(－1,1)}   D．{－1,1}

解析：选D.由得x＝±1.

2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为(　　)

A．0   B.

C．2   D．3

解析：选B.设y1＝x在[1,2]为增函数，

y2＝－在[1,2]为增函数，

∴y＝x－在[1,2]上为增函数，

ymax＝f(2)＝2－＝.

3．函数y＝x－的定义域为(　　)

A．(－∞，2]   B．(－∞，1]

C．(－∞，＋∞)   D．无法确定

解析：选A.由题意知2－x≥0，∴x≤2，

因此定义域为(－∞，2]．

4．若函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(x＋1)的定义域是(　　)

A．[－2,0]   B．[－1,1]

C．[1,2]   D．[0,2]

解析：选A.∵f(x)的定义域是[－1,1]，

∴－1≤x＋1≤1，∴－2≤x≤0，

∴f(x＋1)的定义域是[－2,0]．

5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为(　　)

A．R   B．{x|x>0}

C．{x|0<x<5}   D．{x|<x<5}

解析：选D.△ABC的底边长显然大于0，

即y＝10－2x>0，∴x<5，

又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，x>，

∴此函数的定义域为{x|<x<5}．

6．下列四个命题

①y＝|x|，x∈{－2，－1,0,1,2,3}，则它的值域是{0,1,4,9}；

②y＝x2，x≠2，x∈R，则它的值域是{y|y≥0，y≠4}；

③y＝，则它的值域为R；

④y＝，则它的值域为{y|y≥0}．

其中正确命题的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A.③错，②④正确．①的值域为{0,1,2,3}，③的值域为{y|y∈R且y≠2}．

二、填空题

7．若f(x)＝，则其值域为________．

解析：f(x)＝＝＋≠.

答案：{y∈R|y≠}

8．函数y＝x与y＝表示同一个函数需要注明定义域为________．

解析：y＝＝|x|≥0，∴x≥0.

答案：{x|x≥0}

9．若函数y＝(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．

解析：因为k＞0，所以函数y＝在[2,4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝最小，由题意知＝5，k＝20.

答案：20

三、解答题

10．求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；　(2)y＝＋.

解：(1)要使函数有意义，则

，即，在数轴上标出，如图，即x<－3或－3<x<3或3<x≤5.故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．

(2)要使函数有意义，则，即，所以x＝1，从而函数的定义域为{1}．

11．求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝2x－.

解：(1)∵y＝＝，

显然，y1＝5＋4x－x2的最大值是9，故函数y＝的最大值是3，且y≥0.

∴函数的值域是[0,3]．

(2)令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，

∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2.

这样就把问题转化为求y＝2t2－t＋2，t∈[0，＋∞)的值域问题了．

可以用配方法解决，

有y＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋，

∵t≥0，∴y≥，如图所示：

∴原函数的值域为{y|y≥}．

12．已知函数y＝(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

解：函数y＝(a＜0且a为常数)．

∵ax＋1≥0，a＜0，

∴x≤－，

即函数的定义域为(－∞，－]．

∵函数在区间(－∞，1]上有意义，

∴(－∞，1]⊆(－∞，－]，

∴－≥1，

而a＜0，∴－1≤a＜0.

即a的取值范围是[－1,0)．