湘教版必修11.2函数的概念和性质学案

1．函数y＝－x2的单调减区间是(　　)

A．[0，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，0]

C．(－∞，0)   D．(－∞，＋∞)

解析：选A.画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．

2．若一次函数y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是单调减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的(　　)

A．上半平面   B．下半平面

C．左半平面   D．右半平面

解析：选C.由题意，得k<0，b∈R，故选C.

3．已知0<t≤，那么－t的最小值是(　　)

A.   B.

C．2   D．－2

解析：选A.设f(t)＝－t，当t∈时，可判断f(t)是减函数，所以f(t)min＝f＝4－＝.

4．函数y＝2x2＋1，x∈N＋的最小值为________．

解析：∵x∈N＋，∴y＝2x2＋1≥3.

答案：3

5．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f的大小关系是________．

解析：∵a2－a＋1＝2＋≥，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数．∴f(a2－a＋1)≤f.

答案：f(a2－a＋1)≤f

一、选择题

1．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)

A．f(3)<f(5)   B．f(3)≤f(5)

C．f(3)>f(5)   D．f(3)≥f(5)

解析：选C.因为函数f(x)在R上递减，所以由3<5，得f(3)>f(5)．

2．已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(0,1)   D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：选D.因为f(x)为R上的减函数，所以<1，当x<0时显然成立；当x>0时，x>1，故选D.

3．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)

A．至少有一个实根   B．至多有一个实根

C．没有实根   D．必有唯一的实根

解析：选D.因为y＝f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)·f(b)<0，故该函数的图象在[a，b]内与x轴只有唯一的交点．

4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)

B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)

C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

解析：选C.应用增函数的性质判断．

∵a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a.

又∵函数f(x)在R上是增函数，

∴f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，

∴f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．

5．y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．1，   B.，1

C.，   D.，

解析：选A.y＝在[2,4]上是减函数，

∴ymax＝1，ymin＝.

6．下列命题：

①若f(x)为增函数，则为减函数；

②若f(x)为减函数，则[f(x)]2为减函数；

③若f(x)为增函数，则[f(x)]2为增函数；

④若f(x)为增函数，g(x)为减函数，且g[f(x)]有意义，则g[f(x)]为减函数．

其中正确的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选A.①错，举反例f(x)＝x时，＝在定义域上不是减函数；②错，如f(x)＝－x；③错，如f(x)＝x；④对．∴选A.

二、填空题

7．函数y＝(3k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

解析：由已知，得3k＋1＜0，∴k＜－.

答案：k＜－

8．函数y＝1＋的单调递减区间为________．

解析：y＝1＋由y＝向上平移1个单位得到，单调区间相同(－∞，0)，(0，＋∞)．

答案：(－∞，0)，(0，＋∞)

9．下列四个命题：

①y＝2x＋1，x∈(－1,1)是递增有界函数；

②y＝是奇函数且在(0，＋∞)递减，是有界函数；

③y＝x2＋1是偶函数，最小值为0；

④y＝1＋是偶函数且在(0，＋∞)上递减．

正确命题的序号为________．

解析：①正确，上界为3，下界为－1；②错误，无上界；③错误，最小值为1；④正确．

答案：①④

三、解答题

10．求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．

解：任取x1，x2∈[2,6]，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝＝.

因为2≤x1<x2≤6，

所以x1－x2<0，(x2＋1)(x1＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)＝在区间[2,6]上是增函数，

所以函数f(x)＝在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，

即f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－.

11．若函数f(x)＝a在(0，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．

解：∵f(x＋h)－f(x)＝a－a

＝ .

又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

∴f(x＋h)－f(x)＞0，h＞0，

∴ ＞0，∴a＞0.

12．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，为增函数且满足f(x·y)＝f(x)＋f(y)，试求解不等式f(x)＋f(x－2)≥f(8)．

解：∵f(x)＋f(x－2)≥f(8)，

∴f[x(x－2)]≥f(8)，

由题意可得

由③得x2－2x－8≥0，

∴x≥4或x≤－2，

由①②可知x＞2，∴x≥4，

∴原不等式的解集为{x|x≥4}．