湘教版必修11.1集合导学案

1．(2011年东城区高三质检)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.当x＝时，函数y＝sin2x＝sin＝1取得最大值；反过来，当函数y＝sin2x取得最大值时，不能推出x＝，如x＝时，函数y＝sin2x也可取得最大值．综上所述，“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的充分不必要条件，选A.

2．(2010年高考陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．

3．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q     p，所以q是p的必要条件．

4．直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行的充要条件是m＝________.

解析：由题意，得＝≠，∴m＝－.

答案：－

一、选择题

1．(2010年高考福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选A.由x＝4知|a|＝＝5；反之，由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.

2．(2011年厦门市高三质检)若集合A＝{3，a2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，又是必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若a＝2，则A＝{3,4}，可得A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则a2＝4，可得a＝±2，所以“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

3．(2011年高考天津卷)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)

A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A.∵x≥2，且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．

4．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：选A.由a＝2能得到(a－1)(a－2)＝0，但由(a－1)·(a－2)＝0得到a＝1或a＝2，而不是a＝2，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分而不必要条件．

5．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a>b＋1   B．a>b－1

C．a2>b2   D．a3>b3

解析：选A.要求a>b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a>b，而由a>b推不出选项．在选项A中，a>b＋1能使a>b成立，而a>b时a>b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中，a>b－1时a>b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2>b2时a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D也错误．

6．在下列四个结论中，正确的有(　　)

①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；

②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件；

④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．

A．①②   B．③④

C．①④   D．②③

解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4；但是x2＞4⇒x＜－2或x＞2⇒x3＜－8或x3＞8，不一定有x3＜－8.故x3＜－8⇒x2＞4，但x2＞4A⇒\x3＜－8.所以①正确．

对于结论②，在“△ABC为直角三角形”中没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB2＋AC2＝BC2”成立．故“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．

对于结论④，由“a2＋b2≠0”⇒“a，b不全为0”，反之也成立，因此④正确，③错误．

二、填空题

7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．

解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.

答案：1<x<2

8．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．

解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．

答案：充要

9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．

解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．

答案：②③④

三、解答题

10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．

解：(1)∵|x|＝|y|     x＝y，

但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要条件，但不是充分条件．

(2)△ABC是直角三角形     △ABC是等腰三角形．

△ABC是等腰三角形     △ABC是直角三角形．

∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

(3)四边形的对角线互相平分    四边形是矩形．

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．

∴p是q的必要条件，但不是充分条件．

11．证明：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.

证明：(1)必要性：∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)．∴b＝0.

(2)充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，此时f(x)为奇函数．

∴一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.

12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若   p是   q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？

解：p：－1≤x≤10.

q：x2－4x＋4－m2≤0

⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)

⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．

因为     p是    q的必要而不充分条件，

所以p是q的充分不必要条件，

即{x|－1≤x≤10}     {x|2－m≤x≤2＋m}，

故有或，

解得m≥8.

所以实数m的范围为{m|m≥8}．