湘教版必修11.1集合导学案

1．下列含有存在量词的命题，真命题个数是(　　)

①存在一个实数a，使为正整数；

②存在一个实数x，使为正整数；

③存在一个实数y，使为整数．

A．0　　　　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

解析：选D.对于①，当a＝4时，＝2为正整数；

对于②，当x＝1时，＝1为正整数；

对于③，当y＝1时，＝1为整数，故选D.

2．下列命题，真命题的个数为(　　)

①末位是0的整数，可以被2整除；

②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

③正四面体中两侧面的夹角相等．

A．1   B．2

C．3   D．0

解析：选C.用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判定②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．

3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　　)

A．一次函数都不是单调函数

B．非一次函数都不是单调函数

C．有些一次函数是单调函数

D．有些一次函数不是单调函数

解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．

4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根”为________________________________________________________________________；

(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x，使sinx>tanx”为________________________________________________________________________．

答案：(1)∀m∈R，x2＋x－m＝0有实根

(2)∃x0∈R，sinx0>tanx0

一、选择题

1．下列命题中，假命题的个数是(　　)

①∀x∈R，x2＋1≥1；

②∃x0∈R,2x0＋1＝3；

③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；

④∃x0∈R，x＋2x0＋3＝0.

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．

2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，lg x＝0   B．∃x∈R，tan x＝1

C．∀x∈R，x3>0   D．∀x∈R,2x>0

解析：选C.对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．

3．下列命题的否定是假命题的是(　　)

A．p：能被3整除的整数是奇数；     p：存在一个能被3整除的整数不是奇数

B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；    p：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C．p：有的三角形为正三角形；     p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；    p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0

解析：选C.p为真命题，则     p为假命题．

4．(2011年高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则    p为(　　)

A．∀n∈N,2n≤1000   B．∀n∈N,2n>1000

C．∃n∈N,2n≤1000   D．∃n∈N,2n<1000

解析：选A.“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，    p(x)”

∴     p为∀n∈N,2n≤1000.

5．(2011年高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．

6．(2011年高考安徽卷)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

解析：选D.“∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，    p(x)”；

“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，    p(x)”．

故“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．

二、填空题

7．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

8．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；

②对于一切x<0，都有|x|>x；

③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；

④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.

其中，所有正确命题的序号为________．

解析：命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有an<bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．

答案：①②③

9．若对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取值范围是________．

解析：这是一个全称命题，

只须：(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只须成立．

∴a≥2即为所求．

答案：a≥2

三、解答题

10．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)整数中1最小；

(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；

(4)对于某些实数x，有2x＋1>0；

(5)若直线l垂直于平面α内的任一直线，则l⊥α.

解：(1)∀x∈R，x2≥0，真．

(2)∀x∈Z，x≥1，假．

(3)∃x0<0，有ax＋2x0＋1＝0(a<1)，真．

(4)∃x0∈R，有2x0＋1>0，真．

(5)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α，真．

11．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)q：存在x0＞1，使x－2x0－3＝0；

(3)r：等圆的面积相等，周长相等；

(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定形式是：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以它是真命题．

(2)这一命题的否定是：“对任意x＞1，都有x2－2x－3≠0”．是假命题．

(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”．由平面几何知识知，这是一个假命题．

(4)这一命题的否定形式是：“存在一个角α，使sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以它是假命题．

12．命题p：“对f(x)的定义域内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)成立，则函数f(x)是增函数”．(由定义可知，此命题为真命题)

(1)写出命题p中的全称量词；

(2)若f(x)＝x＋，写出命题p，并判断命题p的真假．

解：(1)命题p中的全称量词是：(定义域内的)“任意”(两个自变量的值)．

(2)命题p：“对f(x)＝x＋的定义域内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)成立”．

取x1＝－2，x2＝－，则f(x1)＝－4，f(x2)＝－12，

由x1＜x2，得f(x1)＞f(x2)，与f(x1)＜f(x2)矛盾，

所以命题p为假命题．